Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

Шаг 1. Определяем четверть и знак синуса

Угол $\alpha$ принадлежит интервалу $\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$, то есть лежит в четвёртой четверти. Здесь синус отрицателен, косинус положителен.

Шаг 2. Используем основное тригонометрическое тождество

Из формулы $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ выражаем синус: $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$

Шаг 3. Вычисляем $\cos^2\alpha$

Подставляем $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$: $$\cos^2\alpha = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25}$$

Шаг 4. Находим $\sin^2\alpha$

$$\sin^2\alpha = 1 - \frac{24}{25} = \frac{25 - 24}{25} = \frac{1}{25}$$

Шаг 5. Извлекаем корень и учитываем знак

$$|\sin\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$$

Поскольку $\alpha$ в четвёртой четверти, синус отрицателен: $$\sin\alpha = -\frac{1}{5}$$

Шаг 6. Вычисляем финальный результат

$$5\sin\alpha = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$$