ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.7 Синус и косинус двойного угла

Найдите дробь: числитель: 10 синус 6 альфа , знаменатель: 3 косинус 3 альфа конец дроби , если синус 3 альфа = 0,6.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Применить формулу синуса двойного угла к числителю, чтобы появился множитель cos⁡3α\cos 3\alpha, который сократится со знаменателем.

Нужно найти значение дроби 10sin⁡6α3cos⁡3α\frac{10\sin 6\alpha}{3\cos 3\alpha}, зная что sin⁡3α=0,6\sin 3\alpha = 0{,}6.

Шаг 1. Преобразуем числитель, заметив что 6α=2⋅3α6\alpha = 2 \cdot 3\alpha. Применим формулу синуса двойного угла: sin⁡2β=2sin⁡βcos⁡β\sin 2\beta = 2\sin\beta\cos\beta.

Получаем: sin⁡6α=sin⁡(2⋅3α)=2sin⁡3αcos⁡3α\sin 6\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha

Шаг 2. Подставим это выражение в исходную дробь: 10sin⁡6α3cos⁡3α=10⋅2sin⁡3αcos⁡3α3cos⁡3α\frac{10\sin 6\alpha}{3\cos 3\alpha} = \frac{10 \cdot 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha}{3\cos 3\alpha}

Шаг 3. Сокращаем на cos⁡3α\cos 3\alpha (он присутствует и в числителе, и в знаменателе): 20sin⁡3αcos⁡3α3cos⁡3α=20sin⁡3α3\frac{20\sin 3\alpha \cos 3\alpha}{3\cos 3\alpha} = \frac{20\sin 3\alpha}{3}

Шаг 4. Подставляем известное значение sin⁡3α=0,6\sin 3\alpha = 0{,}6: 20⋅0,63=123=4\frac{20 \cdot 0{,}6}{3} = \frac{12}{3} = 4

Типичные ошибки

  • Забыли применить формулу синуса двойного угла и попытались подставить значение sin⁡3α\sin 3\alpha сразу, что невозможно
  • Сократили не на cos⁡3α\cos 3\alpha, а написали что-то вроде sin⁡3α/cos⁡3α=tan⁡3α\sin 3\alpha / \cos 3\alpha = \tan 3\alpha, потеряв множитель
  • Ошибка в вычислении: 20⋅0,6=1220 \cdot 0{,}6 = 12, но затем неправильно разделили на 3
Непонятно?

Похожие задачи