Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

Шаг 1. Определим четверть и знак функций.

Угол $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$ — третья четверть, где синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

Шаг 2. Найдём $\cos^2 \alpha$ через основное тригонометрическое тождество.

Используем формулу: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$$

Шаг 3. Найдём $\cos \alpha$.

В третьей четверти $\cos \alpha < 0$, поэтому: $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}}$$

Шаг 4. Вычислим $\tan \alpha$.

По определению тангенса: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{\sqrt{26}}}{-\frac{1}{\sqrt{26}}} = \frac{-5}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{-1} = 5$$

Отрицательные знаки сокращаются — результат положителен, что соответствует третьей четверти.