ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задача 26790. Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите тангенс альфа , если дробь: числитель: 7 синус альфа плюс 13 косинус альфа , знаменатель: 5 синус альфа минус 17 косинус альфа конец дроби =3.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: При наличии дроби с синусом и косинусом разделите числитель и знаменатель на косинус, чтобы выразить всё через тангенс, а затем решите линейное уравнение.

Дана дробь равная 3: 7sin⁡α+13cos⁡α5sin⁡α−17cos⁡α=3\frac{7\sin\alpha + 13\cos\alpha}{5\sin\alpha - 17\cos\alpha} = 3

Чтобы найти tan⁡α\tan\alpha, разделим числитель и знаменатель дроби на cos⁡α\cos\alpha. Это допустимо, так как если бы cos⁡α=0\cos\alpha = 0, то исходная дробь не была бы определена.

Получаем: 7sin⁡α+13cos⁡αcos⁡α5sin⁡α−17cos⁡αcos⁡α=7tan⁡α+135tan⁡α−17=3\frac{\frac{7\sin\alpha + 13\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{5\sin\alpha - 17\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{7\tan\alpha + 13}{5\tan\alpha - 17} = 3

Теперь решаем уравнение. Умножим обе части на знаменатель: 7tan⁡α+13=3(5tan⁡α−17)7\tan\alpha + 13 = 3(5\tan\alpha - 17)

Раскроем скобки: 7tan⁡α+13=15tan⁡α−517\tan\alpha + 13 = 15\tan\alpha - 51

Перенесём все члены с tan⁡α\tan\alpha влево, константы вправо: 7tan⁡α−15tan⁡α=−51−137\tan\alpha - 15\tan\alpha = -51 - 13

−8tan⁡α=−64-8\tan\alpha = -64

tan⁡α=8\tan\alpha = 8

Типичные ошибки

  • Забыли разделить и числитель, и знаменатель одновременно на один и тот же делитель (косинус альфа)
  • Ошибка при раскрытии скобок: 3 × 17 = 51, а не другое значение
  • Неправильный знак при переносе: забыли, что при переносе −51 − 13 дают −64, а не 64

Ещё задачи этой подтемы