ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задача 502014. Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения дробь: числитель: 19, знаменатель: косинус в квадрате 37 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 1 плюс косинус в квадрате 53 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Свести знаменатель к числу, используя формулу дополнительных углов (cos⁡(90°−α)=sin⁡α\cos(90° - \alpha) = \sin \alpha) и основное тригонометрическое тождество (sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1).

Начнём с преобразования знаменателя. Заметим, что 53°=90°−37°53° = 90° - 37°, поэтому применим формулу дополнительных углов.

Шаг 1. Переведём cos⁡53°\cos 53° через дополнительный угол: cos⁡53°=cos⁡(90°−37°)=sin⁡37°\cos 53° = \cos(90° - 37°) = \sin 37°

Это основное тригонометрическое свойство: косинус угла равен синусу дополнительного угла.

Шаг 2. Подставим в знаменатель: cos⁡237°+1+cos⁡253°=cos⁡237°+1+sin⁡237°\cos^2 37° + 1 + \cos^2 53° = \cos^2 37° + 1 + \sin^2 37°

Шаг 3. Применим основное тригонометрическое тождество sin⁡237°+cos⁡237°=1\sin^2 37° + \cos^2 37° = 1: cos⁡237°+sin⁡237°+1=1+1=2\cos^2 37° + \sin^2 37° + 1 = 1 + 1 = 2

Шаг 4. Вычислим дробь: 192=9,5\frac{19}{2} = 9,5

Типичные ошибки

  • Забыли, что 53°+37°=90°53° + 37° = 90°, и не применили формулу дополнительных углов
  • Ошибка в применении основного тождества: неправильно сгруппировали слагаемые в знаменателе
  • Арифметическая ошибка при делении: вычислили 192\frac{19}{2} как 10 вместо 9,5

Ещё задачи этой подтемы