Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

Шаг 1: Вынесем общий множитель

$$4\sqrt{2}\cos^2\frac{15\pi}{8} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\left(2\cos^2\frac{15\pi}{8} - 1\right)$$

Вынимаем $2\sqrt{2}$ из обоих слагаемых, чтобы выявить нужную структуру.

Шаг 2: Применим формулу косинуса двойного угла

Формула: $2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha$

$$2\sqrt{2}\left(2\cos^2\frac{15\pi}{8} - 1\right) = 2\sqrt{2}\cos\frac{15\pi}{4}$$

Угол удвоился: $2 \cdot \frac{15\pi}{8} = \frac{15\pi}{4}$.

Шаг 3: Приведём угол к стандартному диапазону

$$\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$$

Так как косинус имеет период $2\pi$, то $\cos\left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Шаг 4: Используем чётность косинуса

$$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$$

Косинус — чётная функция.

Шаг 5: Подставим табличное значение

$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6: Вычислим итоговое произведение

$$2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2$$