Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

Шаг 1. Определяем знак тангенса.

Угол $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$ лежит во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Следовательно, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ будет отрицательным.

Шаг 2. Используем основное тригонометрическое тождество.

Из соотношения $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ выражаем синус: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$

Подставляем $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$: $$\sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$

Поскольку во второй четверти $\sin \alpha > 0$: $$\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

Шаг 3. Вычисляем тангенс.

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{-10}{\sqrt{10}} = \frac{-30}{10} = -3$$

Минус появляется потому, что косинус отрицателен, а мы уже учли, что тангенс во второй четверти отрицателен.