ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения дробь: числитель: 59, знаменатель: косинус в квадрате 14 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 3 плюс косинус в квадрате 76 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Использовать формулу дополнительного угла cos⁡(90°−α)=sin⁡α\cos(90° - \alpha) = \sin \alpha для приведения к основному тригонометрическому тождеству sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

Шаг 1. Свести углы к одному.

Заметим, что cos⁡76°=sin⁡14°\cos 76° = \sin 14°, так как 76°+14°=90°76° + 14° = 90° — это угол дополнения в прямоугольном треугольнике. Поэтому cos⁡276°=sin⁡214°\cos^2 76° = \sin^2 14°.

Шаг 2. Переписать выражение с одним углом.

Подставим это равенство в исходную дробь: 59cos⁡214°+3+cos⁡276°=59cos⁡214°+3+sin⁡214°\frac{59}{\cos^2 14° + 3 + \cos^2 76°} = \frac{59}{\cos^2 14° + 3 + \sin^2 14°}

Шаг 3. Применить основное тригонометрическое тождество.

Вспомним, что sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 для любого угла. В знаменателе: cos⁡214°+sin⁡214°=1\cos^2 14° + \sin^2 14° = 1.

Шаг 4. Упростить знаменатель.

59cos⁡214°+3+sin⁡214°=59(cos⁡214°+sin⁡214°)+3=591+3=594\frac{59}{\cos^2 14° + 3 + \sin^2 14°} = \frac{59}{(\cos^2 14° + \sin^2 14°) + 3} = \frac{59}{1 + 3} = \frac{59}{4}

Шаг 5. Разделить.

594=14,75\frac{59}{4} = 14,75

Типичные ошибки

  • Забыли, что cos⁡76°=sin⁡14°\cos 76° = \sin 14° (не заметили дополнительный угол 76°+14°=90°76° + 14° = 90°)
  • Неправильно применили основное тождество: написали cos⁡214°+sin⁡214°=0\cos^2 14° + \sin^2 14° = 0 вместо 11
  • Ошибка в арифметике при делении: 594=14,5\frac{59}{4} = 14,5 вместо 14,7514,75
Непонятно?

Похожие задачи