ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения 5 синус левая круглая скобка альфа минус 7 Пи правая круглая скобка минус 11 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка , если синус альфа = минус 0,25.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Применить формулы приведения и периодичность тригонометрических функций, чтобы свести выражение к одному аргументу, затем упростить до линейной комбинации синуса.

Упростим первое слагаемое: 5sin⁡(α−7π)5\sin(\alpha - 7\pi).

Используем нечётность синуса: sin⁡(α−7π)=−sin⁡(7π−α)\sin(\alpha - 7\pi) = -\sin(7\pi - \alpha).

Теперь применим периодичность. Поскольку синус имеет период 2π2\pi, то 7π=3⋅2π+π7\pi = 3 \cdot 2\pi + \pi, поэтому sin⁡(7π−α)=sin⁡(π−α)\sin(7\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha).

По формуле приведения: sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha.

Отсюда получаем: 5sin⁡(α−7π)=−5sin⁡α5\sin(\alpha - 7\pi) = -5\sin\alpha.

Теперь упростим второе слагаемое: −11cos⁡(3π2+α)-11\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right).

По формуле приведения для косинуса: cos⁡(3π2+α)=sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha.

Поэтому: −11cos⁡(3π2+α)=−11sin⁡α-11\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -11\sin\alpha.

Сложим оба слагаемых: 5sin⁡(α−7π)−11cos⁡(3π2+α)=−5sin⁡α−11sin⁡α=−16sin⁡α5\sin(\alpha - 7\pi) - 11\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -5\sin\alpha - 11\sin\alpha = -16\sin\alpha

Подставим sin⁡α=−0,25\sin\alpha = -0,25: −16⋅(−0,25)=4-16 \cdot (-0,25) = 4

Типичные ошибки

  • Ошибка в применении формулы приведения для cos⁡(3π2+α)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) — забывают, что это равно sin⁡α\sin\alpha, а не −sin⁡α-\sin\alpha
  • Неправильное использование периодичности: забывают, что 7π=3⋅2π+π7\pi = 3 \cdot 2\pi + \pi, и пытаются напрямую применить sin⁡(7π−α)\sin(7\pi - \alpha)
  • Ошибка в знаке при подстановке sin⁡α=−0,25\sin\alpha = -0,25: забывают о минусе и получают −4-4 вместо 44
Непонятно?

Похожие задачи