ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения 7 косинус левая круглая скобка Пи плюс бета правая круглая скобка минус 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс бета правая круглая скобка , если косинус бета = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Используй формулы приведения: cos⁡(π+β)=−cos⁡β\cos(\pi + \beta) = -\cos\beta и sin⁡(π2+β)=cos⁡β\sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = \cos\beta, чтобы свести выражение к линейной комбинации косинуса, а затем подставь его значение.

Нужно вычислить 7cos⁡(π+β)−2sin⁡(π2+β)7\cos(\pi + \beta) - 2\sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right), зная, что cos⁡β=−13\cos\beta = -\frac{1}{3}.

Шаг 1. Применяем формулу приведения для первого слагаемого.

Для угла π+β\pi + \beta: косинус угла в третьей четверти (после прибавления π\pi) меняет знак. cos⁡(π+β)=−cos⁡β\cos(\pi + \beta) = -\cos\beta

Поэтому 7cos⁡(π+β)=7⋅(−cos⁡β)=−7cos⁡β7\cos(\pi + \beta) = 7 \cdot (-\cos\beta) = -7\cos\beta.

Шаг 2. Применяем формулу приведения для второго слагаемого.

Для угла π2+β\frac{\pi}{2} + \beta: синус этого угла равен косинусу исходного угла (синус «переходит» в косинус при сдвиге на π2\frac{\pi}{2}). sin⁡(π2+β)=cos⁡β\sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = \cos\beta

Поэтому 2sin⁡(π2+β)=2cos⁡β2\sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = 2\cos\beta.

Шаг 3. Подставляем в исходное выражение.

−7cos⁡β−2cos⁡β=−9cos⁡β-7\cos\beta - 2\cos\beta = -9\cos\beta

Шаг 4. Находим числовое значение.

Подставляем cos⁡β=−13\cos\beta = -\frac{1}{3}: −9⋅(−13)=93=3-9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{9}{3} = 3

Типичные ошибки

  • Забыли, что cos⁡(π+β)=−cos⁡β\cos(\pi + \beta) = -\cos\beta, а не +cos⁡β+\cos\beta — знак меняется в третьей четверти
  • Ошибка в формуле приведения: написали sin⁡(π2+β)=sin⁡β\sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = \sin\beta вместо cos⁡β\cos\beta
  • Ошибка при умножении отрицательных чисел: −9⋅(−13)-9 \cdot (-\frac{1}{3}) дал отрицательный результат вместо положительного
Непонятно?

Похожие задачи