ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задача 26788. Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите дробь: числитель: 3 косинус альфа минус 4 синус альфа , знаменатель: 2 синус альфа минус 5 косинус альфа конец дроби , если тангенс альфа =3.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Разделить числитель и знаменатель на косинус, чтобы выразить дробь через тангенс, значение которого дано.

Дано tan⁡α=3\tan \alpha = 3. Нужно найти значение дроби 3cos⁡α−4sin⁡α2sin⁡α−5cos⁡α\frac{3\cos \alpha - 4\sin \alpha}{2\sin \alpha - 5\cos \alpha}.

Способ через тангенс:

Разделим числитель и знаменатель на cos⁡α\cos \alpha (это допустимо, так как cos⁡α≠0\cos \alpha \neq 0, иначе тангенс не был бы определён):

3cos⁡α−4sin⁡α2sin⁡α−5cos⁡α=3cos⁡α−4sin⁡αcos⁡α2sin⁡α−5cos⁡αcos⁡α\frac{3\cos \alpha - 4\sin \alpha}{2\sin \alpha - 5\cos \alpha} = \frac{\frac{3\cos \alpha - 4\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{2\sin \alpha - 5\cos \alpha}{\cos \alpha}}

В числителе: 3cos⁡αcos⁡α−4sin⁡αcos⁡α=3−4tan⁡α\frac{3\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{4\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3 - 4\tan \alpha

В знаменателе: 2sin⁡αcos⁡α−5cos⁡αcos⁡α=2tan⁡α−5\frac{2\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{5\cos \alpha}{\cos \alpha} = 2\tan \alpha - 5

Получаем: 3−4tan⁡α2tan⁡α−5\frac{3 - 4\tan \alpha}{2\tan \alpha - 5}

Подставляем tan⁡α=3\tan \alpha = 3: 3−4⋅32⋅3−5=3−126−5=−91=−9\frac{3 - 4 \cdot 3}{2 \cdot 3 - 5} = \frac{3 - 12}{6 - 5} = \frac{-9}{1} = -9

Типичные ошибки

  • Забыли разделить оба части дроби на косинус или разделили неправильно
  • Ошибка в подстановке: случайно написали tan⁡α\tan \alpha вместо его значения 3
  • Арифметическая ошибка при вычислении: например, неверно посчитали 3−123 - 12 или 6−56 - 5

Ещё задачи этой подтемы