ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите дробь: числитель: 10 косинус альфа плюс 4 синус альфа плюс 15, знаменатель: 2 синус альфа плюс 5 косинус альфа плюс 3 конец дроби , если тангенс альфа = минус 2,5.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Из условия на тангенс выразить синус через косинус, подставить в дробь и увидеть, что тригонометрические члены сокращаются.

Воспользуемся первым способом, так как он более прямолинеен.

Из условия tan⁡α=−2,5\tan \alpha = -2,5 выражаем синус через косинус: sin⁡α=−2,5cos⁡α\sin \alpha = -2,5 \cos \alpha

Подставляем это соотношение в исходную дробь: 10cos⁡α+4sin⁡α+152sin⁡α+5cos⁡α+3\frac{10\cos \alpha + 4\sin \alpha + 15}{2\sin \alpha + 5\cos \alpha + 3}

В числителе заменяем sin⁡α\sin \alpha на −2,5cos⁡α-2,5\cos \alpha: 10cos⁡α+4⋅(−2,5cos⁡α)+15=10cos⁡α−10cos⁡α+15=1510\cos \alpha + 4 \cdot (-2,5\cos \alpha) + 15 = 10\cos \alpha - 10\cos \alpha + 15 = 15

В знаменателе заменяем sin⁡α\sin \alpha на −2,5cos⁡α-2,5\cos \alpha: 2⋅(−2,5cos⁡α)+5cos⁡α+3=−5cos⁡α+5cos⁡α+3=32 \cdot (-2,5\cos \alpha) + 5\cos \alpha + 3 = -5\cos \alpha + 5\cos \alpha + 3 = 3

Получаем: 153=5\frac{15}{3} = 5

Ответ получен благодаря тому, что при подстановке sin⁡α=−2,5cos⁡α\sin \alpha = -2,5\cos \alpha слагаемые с косинусом в числителе и знаменателе взаимно сокращаются, оставляя только константы.

Типичные ошибки

  • Ошибка в знаке при подстановке: забывают минус в sin⁡α=−2,5cos⁡α\sin \alpha = -2,5\cos \alpha, что приводит к неправильным сокращениям
  • Арифметическая ошибка при вычислении 4×(−2,5)=−104 \times (-2,5) = -10: часто считают неправильно
  • Невнимание к тому, какие слагаемые сокращаются: можно спутать, что сокращается, и получить неправильный числитель или знаменатель
Непонятно?

Похожие задачи