ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите тангенс альфа , если дробь: числитель: 3 синус альфа минус 5 косинус альфа плюс 2, знаменатель: синус альфа плюс 3 косинус альфа плюс 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Применить свойство пропорции (перекрёстное умножение), раскрыть скобки и привести подобные члены, затем выразить тангенс как отношение синуса к косинусу.

Применим свойство пропорции к исходному уравнению. Если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних:

3sin⁡α−5cos⁡α+2sin⁡α+3cos⁡α+6=13\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha + 2}{\sin\alpha + 3\cos\alpha + 6} = \frac{1}{3}

Перемножим крест-накрест:

3(3sin⁡α−5cos⁡α+2)=sin⁡α+3cos⁡α+63(3\sin\alpha - 5\cos\alpha + 2) = \sin\alpha + 3\cos\alpha + 6

Раскроем скобки слева:

9sin⁡α−15cos⁡α+6=sin⁡α+3cos⁡α+69\sin\alpha - 15\cos\alpha + 6 = \sin\alpha + 3\cos\alpha + 6

Перенесём все члены с sin⁡α\sin\alpha и cos⁡α\cos\alpha в левую часть, константы сокращаются:

9sin⁡α−sin⁡α−15cos⁡α−3cos⁡α=09\sin\alpha - \sin\alpha - 15\cos\alpha - 3\cos\alpha = 0

8sin⁡α−18cos⁡α=08\sin\alpha - 18\cos\alpha = 0

Перенесём один из членов:

8sin⁡α=18cos⁡α8\sin\alpha = 18\cos\alpha

Разделим обе части на 8cos⁡α8\cos\alpha (при cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0):

sin⁡αcos⁡α=188\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{18}{8}

tan⁡α=94=2,25\tan\alpha = \frac{9}{4} = 2,25

Типичные ошибки

  • Ошибка в раскрытии скобок: забыть умножить все три слагаемых на 3
  • При переносе членов допустить знаковую ошибку (неправильно учесть минусы)
  • Забыть сократить дробь 188\frac{18}{8} до 94\frac{9}{4} и представить ответ в виде десятичной дроби
Непонятно?

Похожие задачи