Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

Вынесем общий множитель $\sqrt{50}$ за скобки: $$\sqrt{50}\cos^2\frac{9\pi}{8} - \sqrt{50}\sin^2\frac{9\pi}{8} = \sqrt{50}\left(\cos^2\frac{9\pi}{8} - \sin^2\frac{9\pi}{8}\right)$$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$. Здесь $\alpha = \frac{9\pi}{8}$, поэтому $2\alpha = \frac{9\pi}{4}$: $$\sqrt{50}\cos\frac{9\pi}{4}$$

Упростим аргумент косинуса. Заметим, что $\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$. Так как косинус имеет период $2\pi$, то $\cos\frac{9\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим: $$\sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5$$