ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задача 26784. Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.2 Радианная мера угла

Найдите синус левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус альфа правая круглая скобка , если синус альфа =0,8 и альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка .

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Используя периодичность и формулы приведения, свести выражение к −cos⁡α-\cos\alpha, затем найти косинус из основного тождества и учесть его знак во второй четверти.

Шаг 1. Упростим аргумент синуса, используя периодичность.

В аргументе стоит 7π2\frac{7\pi}{2}. Представим его как 2π+3π22\pi + \frac{3\pi}{2}, поскольку 7π2=4π+3π2=2π+3π2\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}.

По свойству периодичности синуса (sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x): sin⁡(7π2−α)=sin⁡(2π+3π2−α)=sin⁡(3π2−α)\sin\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)

Шаг 2. Применим формулу приведения.

Для аргумента вида 3π2−α\frac{3\pi}{2} - \alpha используем формулу приведения: sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha.

Это можно вывести из: sin⁡(3π2−α)=sin⁡3π2cos⁡α−cos⁡3π2sin⁡α=(−1)⋅cos⁡α−0⋅sin⁡α=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\frac{3\pi}{2}\cos\alpha - \cos\frac{3\pi}{2}\sin\alpha = (-1)\cdot\cos\alpha - 0\cdot\sin\alpha = -\cos\alpha.

Шаг 3. Найдём косинус через основное тригонометрическое тождество.

Из условия sin⁡α=0,8\sin\alpha = 0,8 имеем: cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−0,64=0,36\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - 0,64 = 0,36 cos⁡α=±0,6\cos\alpha = \pm 0,6

Шаг 4. Определим знак косинуса.

По условию α∈(π2;π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) — вторая четверть, где косинус отрицателен. Следовательно, cos⁡α=−0,6\cos\alpha = -0,6.

Шаг 5. Вычислим итоговый результат.

sin⁡(7π2−α)=−cos⁡α=−(−0,6)=0,6\sin\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha = -(-0,6) = 0,6

Типичные ошибки

  • Забыть или неправильно применить формулу приведения для sin⁡(3π2−α)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)
  • Ошибиться в определении знака косинуса: не учесть, что во второй четверти cos⁡α<0\cos\alpha < 0
  • Неверно упростить 7π2\frac{7\pi}{2}: например, привести к 3π2\frac{3\pi}{2} без выделения полного периода 2π2\pi

Ещё задачи этой подтемы