ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.2 Радианная мера угла

Найдите синус левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус альфа правая круглая скобка , если синус альфа =0,8 и альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка .

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Используя периодичность и формулы приведения, свести выражение к −cos⁡α-\cos\alpha, затем найти косинус из основного тождества и учесть его знак во второй четверти.

Шаг 1. Упростим аргумент синуса, используя периодичность.

В аргументе стоит 7π2\frac{7\pi}{2}. Представим его как 2π+3π22\pi + \frac{3\pi}{2}, поскольку 7π2=4π+3π2=2π+3π2\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}.

По свойству периодичности синуса (sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x): sin⁡(7π2−α)=sin⁡(2π+3π2−α)=sin⁡(3π2−α)\sin\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)

Шаг 2. Применим формулу приведения.

Для аргумента вида 3π2−α\frac{3\pi}{2} - \alpha используем формулу приведения: sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha.

Это можно вывести из: sin⁡(3π2−α)=sin⁡3π2cos⁡α−cos⁡3π2sin⁡α=(−1)⋅cos⁡α−0⋅sin⁡α=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\frac{3\pi}{2}\cos\alpha - \cos\frac{3\pi}{2}\sin\alpha = (-1)\cdot\cos\alpha - 0\cdot\sin\alpha = -\cos\alpha.

Шаг 3. Найдём косинус через основное тригонометрическое тождество.

Из условия sin⁡α=0,8\sin\alpha = 0,8 имеем: cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−0,64=0,36\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - 0,64 = 0,36 cos⁡α=±0,6\cos\alpha = \pm 0,6

Шаг 4. Определим знак косинуса.

По условию α∈(π2;π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) — вторая четверть, где косинус отрицателен. Следовательно, cos⁡α=−0,6\cos\alpha = -0,6.

Шаг 5. Вычислим итоговый результат.

sin⁡(7π2−α)=−cos⁡α=−(−0,6)=0,6\sin\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha = -(-0,6) = 0,6

Типичные ошибки

  • Забыть или неправильно применить формулу приведения для sin⁡(3π2−α)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)
  • Ошибиться в определении знака косинуса: не учесть, что во второй четверти cos⁡α<0\cos\alpha < 0
  • Неверно упростить 7π2\frac{7\pi}{2}: например, привести к 3π2\frac{3\pi}{2} без выделения полного периода 2π2\pi
Непонятно?

Похожие задачи