Задача 26786. Вычисление значений тригонометрических выражений

Нужно найти $\tan\left(\alpha + \frac{5\pi}{2}\right)$ при $\tan\alpha = 0,4$.

Шаг 1. Используем периодичность тангенса.

Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$. Это значит, что $\tan(x + \pi k) = \tan x$ для любого целого $k$. Разберём аргумент:

$$\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$$

Поскольку $2\pi = 2 \cdot \pi$ содержит два периода тангенса, то:

$$\tan\left(\alpha + \frac{5\pi}{2}\right) = \tan\left(\alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 2. Применяем формулу приведения.

Для угла, который больше $\alpha$ на $\frac{\pi}{2}$, используется формула приведения:

$$\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\cot\alpha$$

Эта формула следует из определений: когда угол увеличивается на $\frac{\pi}{2}$, тангенс преобразуется в котангенс с противоположным знаком.

Шаг 3. Выражаем котангенс через тангенс.

Котангенс и тангенс связаны соотношением:

$$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$$

Поэтому:

$$-\cot\alpha = -\frac{1}{\tan\alpha} = -\frac{1}{0,4} = -\frac{10}{4} = -2,5$$