Задача 26785. Вычисление значений тригонометрических выражений

Шаг 1. Применим формулу приведения.

Для выражения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$ используем формулу приведения: $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$.

Почему эта формула работает: угол $\frac{3\pi}{2}$ — это нижняя точка единичной окружности, и косинус при добавлении к нему угла $\alpha$ преобразуется в синус.

Шаг 2. Определим знак синуса.

По условию $\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ — это четвёртая четверть, где синус отрицателен. Поэтому $\sin\alpha < 0$.

Шаг 3. Найдём $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества.

Используем формулу: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Подставим $\cos\alpha = \frac{12}{13}$: $$\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$$

Тогда $\sin\alpha = \pm\frac{5}{13}$. Поскольку в четвёртой четверти синус отрицателен, $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$.

Шаг 4. Вычислим окончательный ответ. $$26\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = 26\sin\alpha = 26 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{130}{13} = -10$$