Задание 7 ЕГЭ: преобразование буквенных иррациональных выражений

О чём эта подтема

Задание 7 профильного ЕГЭ часто предлагает вычислить значение буквенного выражения, в котором присутствуют корни (квадратные, кубические, n-й степени) от переменных. Задача не в том, чтобы подставить число «в лоб», а в том, чтобы сначала упростить выражение с помощью свойств степеней и корней, и только потом подставить конкретное значение переменной. Итоговый ответ — обычно целое число или простая дробь, что служит хорошей проверкой правильности преобразований.

Сложность подтемы в том, что нужно свободно переходить между разными формами записи: корень как степень с рациональным показателем, дробь с корнем в числителе или знаменателе, произведение и частное корней разных степеней. Кто владеет этими переходами уверенно, решает такие задания за 1–2 минуты.

Что нужно знать

1. Переход от корня к степени с рациональным показателем.

Для $a \ge 0$ и натурального $n \ge 2$: $$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}, \qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}.$$

Это ключевой инструмент: почти все преобразования с разнородными корнями (квадратный, кубический, корень 9-й степени и т.д.) удобно делать именно через степени, а не через корни.

2. Свойства степеней с рациональным показателем. Пусть $a>0$, $p,q \in \mathbb{Q}$: $$a^p \cdot a^q = a^{p+q}, \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}, \qquad (a^p)^q = a^{pq}, \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}.$$

Все действия с корнями разных степеней сводятся к сложению, вычитанию и сравнению обычных дробей — показателей степени.

3. Свойства арифметического корня (при $a, b \ge 0$): $$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}, \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \ (b\ne 0), \qquad \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}.$$

4. Основное тождество для деления с корнем в знаменателе.

Если в знаменателе стоит $\sqrt{x}$, то домножение или прямое деление даёт: $$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.$$

Это равенство используется постоянно, когда в выражении встречается дробь вида $\dfrac{a\sqrt{x}}{x}$ — она мгновенно сворачивается к $\dfrac{a}{\sqrt{x}}$.

5. Область допустимых значений (ОДЗ). Если в условии сказано, что переменная больше нуля (или ограничение уже дано), корни определены и не нужно рассматривать модуль. Важно помнить: $\sqrt{x^2} = |x|$, но если заранее известно, что $x>0$, то $|x|=x$ и модуль убирается без остатка.

6. Приведение дробей к общему знаменателю через степени. Когда в примере есть несколько корней с разными показателями (например, 9-й и 18-й степени), их произведение или частное лучше сразу переписать как степени с общим знаменателем дробных показателей — это самый надёжный способ не запутаться в арифметике корней.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Все корни в выражении перепишите как степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^k} \to a^{k/n}$.

Шаг 2. Если есть дробь, в которой в числителе и знаменателе стоят степени одной и той же переменной, вынесите общий множитель и сократите степени по правилу $a^p/a^q = a^{p-q}$.

Шаг 3. Если выражение — сумма или разность нескольких дробей, каждую дробь упростите отдельно до вида $c \cdot x^{r}$ (число, умноженное на степень переменной с некоторым рациональным показателем $r$).

Шаг 4. Приведите одинаковые степени переменной и сложите (вычтите) коэффициенты — часто степени у слагаемых совпадают, и они взаимно уничтожаются или складываются, оставляя чистое число.

Шаг 5. Если в итоге осталась степень переменной (не нулевая), подставьте числовое значение переменной и вычислите результат, используя разложение числа на простые множители (это упрощает извлечение корней и возведение в дробную степень).

Шаг 6. Проверьте ответ на разумность: как правило, итоговое число в задании 7 — целое или простая обыкновенная дробь.

Главная идея метода: не бояться разнородности корней — переход к единой записи через рациональные показатели степени превращает громоздкое выражение с корнями в обычную алгебраическую комбинацию степеней, которую сокращают по стандартным правилам.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$\frac{5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x}}{x}$$ при $x>0$.

Шаг 1. Разобьём первую дробь на два слагаемых, разделив числитель почленно на $\sqrt{x}$: $$\frac{5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} = \frac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 5 + \frac{2}{\sqrt{x}}.$$

Шаг 2. Упростим вторую дробь, используя равенство $x = (\sqrt{x})^2$: $$\frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{2}{\sqrt{x}}.$$

Шаг 3. Подставим обе упрощённые части в исходное выражение: $$\left(5 + \frac{2}{\sqrt{x}}\right) - \frac{2}{\sqrt{x}} = 5.$$

Слагаемые с $\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ взаимно уничтожились, и результат не зависит от конкретного значения $x$ — он равен $5$ для любого допустимого $x>0$.

Ответ: 5.

Этот пример показывает типичный приём: при делении суммы на корень удобно почленно разбивать дробь, а не пытаться сразу приводить всё к общему знаменателю.

Пример 2. Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[9]{m}\cdot\sqrt[18]{m}}$$ при $m = 64$.

Шаг 1. Переведём все корни в степени с рациональным показателем: $$\sqrt{m} = m^{1/2}, \qquad \sqrt[9]{m} = m^{1/9}, \qquad \sqrt[18]{m} = m^{1/18}.$$

Шаг 2. Упростим знаменатель, сложив показатели (произведение степеней с одинаковым основанием): $$m^{1/9}\cdot m^{1/18} = m^{1/9+1/18}.$$

Приведём дроби к общему знаменателю 18: $\dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{18}$, поэтому $$\frac{2}{18}+\frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}.$$

Значит, знаменатель равен $m^{1/6}$.

Шаг 3. Всё выражение принимает вид: $$\frac{m^{1/2}}{m^{1/6}} = m^{1/2 - 1/6}.$$

Вычислим показатель: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$, значит $\dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Получаем $m^{1/3} = \sqrt[3]{m}$.

Шаг 4. Подставим $m = 64$: $$\sqrt[3]{64} = 4,$$ так как $4^3 = 64$.

Ответ: 4.

Здесь показан второй ключевой приём: разные показатели корней (2, 9, 18) сразу переводятся в дробные показатели степени с общим знаменателем, что позволяет складывать и вычитать их как обычные дроби.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Попытка сразу подставить числовое значение переменной без упрощения. Иногда выражение с не упрощённым видом даёт громоздкие иррациональные числа, и школьник не понимает, как их сократить. Правильный путь — всегда сначала преобразовать буквенное выражение, а подставлять число в последнюю очередь.

Ошибка 2. Неправильное сложение дробных показателей степени. Часто ошибаются при приведении дробей $\frac19$ и $\frac1{18}$ к общему знаменателю или путают знаки при вычитании показателей: $a^p/a^q = a^{p-q}$, а не $a^{p+q}$ или $a^{q-p}$.

Ошибка 3. Забывают, что $x = (\sqrt{x})^2$. Это тождество часто нужно применять «в обратную сторону» — то есть заменять $x$ в знаменателе на квадрат корня, чтобы сократить дробь с корнем в числителе.

Ошибка 4. Неверное сокращение дроби вида $\dfrac{\sqrt{x}}{x}$. Некоторые сокращают корень с самим $x$ напрямую, теряя степень: правильный результат — $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, а не $\sqrt{x}$ или $1$.

Ошибка 5. Игнорирование условий на знак переменной. Если в задаче не сказано, что $x>0$ или переменная может быть отрицательной, замена $\sqrt{x^2}=x$ становится неверной — нужно писать $|x|$. В большинстве заданий 7 условие $x>0$ или $m>0$ прямо указано, но это стоит проверять внимательно.

Ошибка 6. Арифметические ошибки при разложении числа на множители. При подстановке числового значения переменной полезно сразу представить число как степень простого числа (например, $64 = 2^6$), это облегчает извлечение корня любой степени и снижает риск ошибки в вычислениях.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задания 7 с буквенными иррациональными выражениями держите в голове несколько практических моментов.

Во-первых, старайтесь не извлекать корень из числа сразу, а сначала до конца упростить буквенное выражение алгебраически — часто переменная (или её степень) полностью исчезает из ответа, и подставлять число вообще не нужно, как в первом примере.

Во-вторых, при работе с несколькими корнями разной степени сразу переходите к записи через степени с рациональными показателями — это унифицирует запись и превращает задачу в работу с обычными дробями-показателями, где легче не допустить ошибку.

В-третьих, если в конце остаётся степень переменной с ненулевым показателем, перед подстановкой числа проверьте: удобно ли представить это число как степень простого основания (например, $64=2^6$, $27=3^3$, $32=2^5$) — так извлечение корня любой степени становится мгновенным.

В-четвёртых, всегда проверяйте знак результата и его разумность: если получилось дробное или отрицательное число там, где условие гарантирует положительность переменной, скорее всего где-то допущена ошибка в показателе степени или знаке.

Наконец, не бойтесь промежуточных вычислений с обыкновенными дробями при сложении показателей степени — именно здесь чаще всего теряются баллы из-за невнимательности, а не из-за непонимания метода.