ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования буквенных иррациональных выражений

Задача 26839. Преобразования буквенных иррациональных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите дробь: числитель: g левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: g левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка конец дроби , если g левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень 3 степени из: начало аргумента: x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец аргумента при |x| не равно 2.

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: При подстановке аргументов в функцию получаются корни из одинаковых произведений множителей, потому что выражение 4−x4-x раскладывается через точку x=2x=2 так, что (2−x)(2-x) и (2+x)(2+x) меняются местами в произведении.

Подставим аргументы в определение функции g(x)=x(4−x)3g(x) = \sqrt[3]{x(4-x)}.

Вычислим числитель:

g(2−x)=(2−x)(4−(2−x))3g(2-x) = \sqrt[3]{(2-x)(4-(2-x))}

Упростим выражение в скобках: 4−(2−x)=4−2+x=2+x4-(2-x) = 4-2+x = 2+x

g(2−x)=(2−x)(2+x)3g(2-x) = \sqrt[3]{(2-x)(2+x)}

Вычислим знаменатель:

g(2+x)=(2+x)(4−(2+x))3g(2+x) = \sqrt[3]{(2+x)(4-(2+x))}

Упростим выражение в скобках: 4−(2+x)=4−2−x=2−x4-(2+x) = 4-2-x = 2-x

g(2+x)=(2+x)(2−x)3g(2+x) = \sqrt[3]{(2+x)(2-x)}

Найдём отношение:

g(2−x)g(2+x)=(2−x)(2+x)3(2+x)(2−x)3\frac{g(2-x)}{g(2+x)} = \frac{\sqrt[3]{(2-x)(2+x)}}{\sqrt[3]{(2+x)(2-x)}}

Произведение (2−x)(2+x)(2-x)(2+x) в числителе и знаменателе одинаковое — это произведение множителей в одном и том же порядке (умножение коммутативно). Поэтому числитель и знаменатель равны, и дробь равна 1.

Типичные ошибки

  • Ошибка в упрощении 4−(2−x)4-(2-x) или 4−(2+x)4-(2+x) — нужно внимательно раскрывать скобки со знаком минус.
  • Забывают, что (2−x)(2+x)=(2+x)(2−x)(2-x)(2+x) = (2+x)(2-x) — произведение не зависит от порядка множителей, поэтому корни равны.
  • Пытаются вычислить конкретные значения вместо алгебраического упрощения — задача предполагает работу с выражением в целом.

Ещё задачи этой подтемы