Задача 26842. Преобразования буквенных иррациональных выражений

Преобразуем выражение, переходя от корней к степеням.

Запишем каждый корень через дробный показатель степени:

• $\sqrt{m} = m^{1/2}$
• $\sqrt[9]{m} = m^{1/9}$
• $\sqrt[18]{m} = m^{1/18}$

Получаем: $$\frac{m^{1/2}}{m^{1/9} \cdot m^{1/18}}$$

В знаменателе произведение степеней с одним основанием — складываем показатели: $$m^{1/9} \cdot m^{1/18} = m^{1/9 + 1/18}$$

Приведём к общему знаменателю: $\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

Тогда знаменатель: $m^{1/6}$

Делим степени с одинаковым основанием (вычитаем показатели): $$\frac{m^{1/2}}{m^{1/6}} = m^{1/2 - 1/6}$$

Найдём разность показателей: $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Получаем: $m^{1/3} = \sqrt[3]{m}$

Подставляем $m = 64$: $$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$$