Задача 26837. Преобразования буквенных иррациональных выражений

Преобразуем числитель и знаменатель, приводя все корни к одному показателю.

Числитель: $\sqrt[9]{\sqrt{m}} = \sqrt[9]{m^{1/2}} = m^{(1/2) \cdot (1/9)} = m^{1/18} = \sqrt[18]{m}$

Здесь мы используем свойство вложенных корней: корень из корня — это корень с произведением показателей. Девятая степень применяется к показателю $1/2$, получаем $1/18$.

Знаменатель: $\sqrt{16\sqrt[9]{m}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\sqrt[9]{m}}$

Преобразуем вторую часть: $\sqrt{\sqrt[9]{m}} = \sqrt{m^{1/9}} = m^{(1/9) \cdot (1/2)} = m^{1/18} = \sqrt[18]{m}$

Получаем: $\sqrt{16} \cdot \sqrt[18]{m} = 4\sqrt[18]{m}$

Вычисляем дробь: $$\frac{\sqrt[18]{m}}{4\sqrt[18]{m}} = \frac{1}{4} = 0,25$$

Множители $\sqrt[18]{m}$ сокращаются, так как $m > 0$ и они определены.