ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования буквенных иррациональных выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования буквенных иррациональных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите h левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка плюс h левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка , если h левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень 3 степени из: начало аргумента: x конец аргумента плюс корень 3 степени из: начало аргумента: x минус 10 конец аргумента .

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: Функция hh обладает свойством антисимметрии относительно точки x=5x=5: слагаемые в h(5+x)h(5+x) и h(5−x)h(5-x) оказываются взаимно противоположны, поэтому их сумма равна нулю.

Найдём h(5+x)h(5+x), подставив 5+x5+x вместо xx в формулу: h(5+x)=5+x3+(5+x)−103=5+x3+x−53h(5+x) = \sqrt[3]{5+x} + \sqrt[3]{(5+x)-10} = \sqrt[3]{5+x} + \sqrt[3]{x-5}

Теперь найдём h(5−x)h(5-x), подставив 5−x5-x вместо xx: h(5−x)=5−x3+(5−x)−103=5−x3+−5−x3h(5-x) = \sqrt[3]{5-x} + \sqrt[3]{(5-x)-10} = \sqrt[3]{5-x} + \sqrt[3]{-5-x}

Убеждаемся, что −5−x3=−5+x3\sqrt[3]{-5-x} = -\sqrt[3]{5+x} (куб корень нечётной степени сохраняет знак): h(5−x)=5−x3−5+x3h(5-x) = \sqrt[3]{5-x} - \sqrt[3]{5+x}

Далее заметим, что 5−x3=−(x−5)3=−x−53\sqrt[3]{5-x} = \sqrt[3]{-(x-5)} = -\sqrt[3]{x-5}: h(5−x)=−x−53−5+x3h(5-x) = -\sqrt[3]{x-5} - \sqrt[3]{5+x}

Сложим оба выражения: h(5+x)+h(5−x)=(5+x3+x−53)+(−x−53−5+x3)=0h(5+x) + h(5-x) = \left(\sqrt[3]{5+x} + \sqrt[3]{x-5}\right) + \left(-\sqrt[3]{x-5} - \sqrt[3]{5+x}\right) = 0

Все слагаемые взаимно сокращаются.

Типичные ошибки

  • Ошибка при упрощении корня нечётной степени из отрицательного числа: забывают, что −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}
  • Арифметическая ошибка при раскрытии скобок в аргументах корней, например, неправильный подсчёт (5−x)−10(5-x)-10
  • Неправильное заключение, что функция чётная или нечётная, вместо проверки конкретного свойства для данных аргументов
Непонятно?

Похожие задачи