Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования буквенных иррациональных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите значение выражения $x плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4x плюс 4 конец аргумента$ при $x меньше или равно 2.$

В подтеме 11 задач

Разбор

Главная идея: Нужно распознать под корнем полный квадрат

(x-2)^2

, затем правильно раскрыть модуль

|x-2|

в соответствии с условием

x \le 2

Шаг 1. Преобразуем подкоренное выражение

Под корнем стоит $x^2 - 4x + 4$ . Заметим, что это трёхчлен, который можно свернуть как полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

Это работает, потому что $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ по формуле квадрата разности.

Шаг 2. Извлекаем корень из квадрата

Теперь исходное выражение принимает вид: $x + \sqrt{(x-2)^2}$

Корень из квадрата любого выражения равен его модулю: $\sqrt{(x-2)^2} = |x - 2|$

Получаем: $x + |x - 2|$

Шаг 3. Раскрываем модуль при условии $x \le 2$

По определению модуля:

Так как $x \le 2$ , подходит второй случай (включая границу): $|x - 2| = 2 - x$

Шаг 4. Вычисляем итоговое значение

Подставляем раскрытый модуль: $x + |x - 2| = x + (2 - x) = 2$

Х и $-x$ взаимно уничтожаются, остаётся 2.

Забыли, что $\sqrt{A^2} = |A|$ , а не просто $A$ — модуль обязателен
Неправильно раскрыли модуль: взяли $|x-2| = x-2$ вместо $2-x$ при $x \le 2$
Не заметили, что под корнем спрятан полный квадрат, и пытались упростить выражение другим способом

Непонятно?

Похожие задачи