Задание 7 ЕГЭ: преобразование буквенных тригонометрических выражений

О чём эта подтема

В задании 7 профильного ЕГЭ часто встречаются выражения, где под знаками синуса и косинуса стоит буква (обычно $\alpha$ или $\beta$), к которой прибавлено или из которой вычтено число, кратное $\pi$ или $\dfrac{\pi}{2}$. Например: $\cos(\pi-\beta)$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$, $\cos(\beta+3\pi)$. Задача — не вычислить конкретное числовое значение, а упростить выражение так, чтобы буква осталась только в одном виде функции — обычно $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$ — и после сокращения получить готовое число.

Эта подтема проверяет знание формул приведения и умение аккуратно с ними работать: определять знак, менять функцию на кофункцию (синус на косинус и наоборот) или оставлять её той же — в зависимости от того, какое слагаемое стоит под знаком тригонометрической функции. Здесь не нужны сложные тождества суммы/разности углов — почти всегда достаточно формул приведения и понимания периодичности функций.

Тип задания несложный по вычислениям, но требует внимательности: одна ошибка со знаком или с выбором функции — и ответ будет неверным. Именно поэтому эта подтема часто становится источником досадных потерь баллов у тех, кто спешит.

Что нужно знать

1. Периодичность функций. $$\sin(\alpha+2\pi n)=\sin\alpha,\qquad \cos(\alpha+2\pi n)=\cos\alpha,\quad n\in\mathbb{Z}.$$ Это значит, что если под знаком функции стоит слагаемое вида $2\pi n$ (например, $4\pi$, $6\pi$, $-8\pi$), то его можно просто отбросить.

Если слагаемое — нечётное кратное $\pi$ (например, $3\pi$, $5\pi$, $-7\pi$), удобно представить его как $\pi + 2\pi n$ и свести к формуле приведения для угла $\pi \pm \alpha$.

2. Формулы приведения. Их удобно держать в голове через мнемоническое правило, но полезно знать и сами формулы:

$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$$ $$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$$ $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\qquad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$$ $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\qquad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$$ $$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha,\qquad \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha$$ $$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha,\qquad \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha$$ $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha$$

3. Мнемоническое правило для формул приведения. Если у угла есть $\pi/2$ или $3\pi/2$ (то есть аргумент вида $\pi/2 \pm \alpha$ или $3\pi/2 \pm \alpha$), функция меняется на кофункцию: синус на косинус, косинус на синус. Если у угла $\pi$ или $2\pi$ (аргумент вида $\pi\pm\alpha$ или $2\pi\pm\alpha$), функция остаётся той же.

Знак результата определяется по знаку исходной функции в той четверти, где «лежал» бы угол $\dfrac{\pi}{2}\pm\alpha$, $\pi\pm\alpha$ и т.д., если считать $\alpha$ малым положительным углом первой четверти. Проще говоря: подставляют мысленно вместо $\alpha$ маленький острый угол и смотрят, в какой четверти окажется вся конструкция, и какой знак там имеет исходная функция.

4. Работа с большими кратными $\pi$. Если в условии встречается, например, $\cos(\beta+3\pi)$ или $\sin(\alpha-7\pi)$, нужно свести большое число $\pi$ к $\pi$ или $0$ с помощью периода $2\pi$: $$3\pi = \pi + 2\pi,\qquad -7\pi = -\pi - 2\cdot3\pi = -\pi + (-6\pi).$$ После отбрасывания целого числа периодов $2\pi$ остаётся простая формула приведения с $\pi$.

5. Основное тригонометрическое тождество может потребоваться для окончательного упрощения, если в выражении не сокращаются одинаковые функции, но такое в задании 7 встречается реже — обычно всё сводится до сокращения одноимённых функций в числителе и знаменателе.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения таких задач всегда одинаковый и состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Привести аргумент к стандартному виду. Если в аргументе стоит число, по модулю большее $2\pi$ (например, $3\pi$, $7\pi$, $-9\pi$ и т.п.), нужно выделить целое число полных периодов $2\pi n$ и отбросить их, оставив остаток вида $0$, $\pi$ или $-\pi$ (можно оставить и $\pi$ со знаком плюс, так как $\cos$ и $\sin(\pm\pi+\alpha)$ вычисляются по одинаковым по модулю формулам).

Шаг 2. Применить формулу приведения к каждому слагаемому отдельно. В выражении обычно несколько тригонометрических функций — числитель и знаменатель дроби. Каждую нужно преобразовать по формуле приведения, определив:

• меняется ли функция на кофункцию (если в аргументе $\pi/2$ или $3\pi/2$) или остаётся той же (если $\pi$ или $2\pi$);
• какой знак получается.

Шаг 3. Привести все слагаемые к одной и той же функции от одной и той же буквы. После применения формул приведения все члены числителя и знаменателя должны выражаться через $\sin\alpha$ или через $\cos\alpha$ (одна из этих функций, не смешанно).

Шаг 4. Сократить и получить числовой ответ. После приведения подобных членов в числителе и знаменателе буква (общий множитель $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$) сокращается, и остаётся конкретное число — это и есть ответ.

Важно: буква $\alpha$ (или $\beta$) не имеет конкретного числового значения — задача построена так, чтобы после преобразований она исчезла из ответа при сокращении. Если в конце осталась буква — где-то допущена ошибка в применении формул приведения.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$\dfrac{3\cos(\pi-\beta)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\beta\right)}{\cos(\beta+3\pi)}.$$

Шаг 1. Приводим аргумент знаменателя к стандартному виду: $\beta+3\pi = (\beta+\pi)+2\pi$. Так как период косинуса равен $2\pi$, слагаемое $2\pi$ отбрасываем: $$\cos(\beta+3\pi)=\cos(\beta+\pi).$$

Шаг 2. Применяем формулы приведения к каждому члену.

Для $\cos(\pi-\beta)$: угол содержит $\pi$, значит функция не меняется (косинус остаётся косинусом), знак — минус (косинус во второй четверти отрицателен): $$\cos(\pi-\beta)=-\cos\beta.$$

Для $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\beta\right)$: угол содержит $\pi/2$, значит функция меняется на кофункцию (синус становится косинусом), знак — плюс (синус в первой четверти положителен): $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\beta\right)=\cos\beta.$$

Для $\cos(\beta+\pi)$: угол содержит $\pi$, функция не меняется, знак — минус: $$\cos(\beta+\pi)=-\cos\beta.$$

Шаг 3. Подставляем полученные выражения: $$\dfrac{3\cdot(-\cos\beta)+\cos\beta}{-\cos\beta}=\dfrac{-3\cos\beta+\cos\beta}{-\cos\beta}=\dfrac{-2\cos\beta}{-\cos\beta}.$$

Шаг 4. Сокращаем на $-\cos\beta$ (считая $\cos\beta\neq0$, что подразумевается условием задачи): $$\dfrac{-2\cos\beta}{-\cos\beta}=2.$$

Ответ: $2$.

Пример 2. Найдите значение выражения $$\dfrac{2\sin(\alpha-7\pi)+\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{\sin(\alpha+\pi)}.$$

Шаг 1. Приводим аргумент числителя к стандартному виду. Так как $-7\pi = -\pi - 6\pi = -\pi + (-3)\cdot 2\pi$, отбрасываем $-6\pi$ (целое кратное периода $2\pi$): $$\sin(\alpha-7\pi)=\sin(\alpha-\pi).$$

Шаг 2. Применяем формулы приведения.

Для $\sin(\alpha-\pi)$: удобно переписать как $\sin(-( \pi-\alpha))=-\sin(\pi-\alpha)$, а $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, значит $$\sin(\alpha-\pi)=-\sin\alpha.$$ (Тот же результат можно получить прямо: аргумент содержит $\pi$, функция не меняется, знак определяется как для угла $\pi+\alpha$ со сдвигом — итог минус.)

Для $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)$: угол содержит $3\pi/2$, функция меняется на кофункцию (косинус становится синусом), знак — плюс: $$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha.$$

Для $\sin(\alpha+\pi)$: угол содержит $\pi$, функция не меняется, знак — минус: $$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha.$$

Шаг 3. Подставляем: $$\dfrac{2\cdot(-\sin\alpha)+\sin\alpha}{-\sin\alpha}=\dfrac{-2\sin\alpha+\sin\alpha}{-\sin\alpha}=\dfrac{-\sin\alpha}{-\sin\alpha}.$$

Шаг 4. Сокращаем: $$\dfrac{-\sin\alpha}{-\sin\alpha}=1.$$

Ответ: $1$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала избавляемся от «лишних» полных периодов, затем каждое слагаемое отдельно превращаем по формуле приведения, затем приводим подобные и сокращаем общий множитель.

Типичные ошибки

Путаница со знаком. Самая частая ошибка — неверно определить знак после применения формулы приведения. Чтобы не ошибиться, полезно каждый раз мысленно представлять $\alpha$ как малый острый угол (например, $10^\circ$) и проверять, в какой четверти окажется весь аргумент, и какой знак там имеет исходная функция.

Ошибка при смене функции на кофункцию. Если в аргументе есть $\pi/2$ или $3\pi/2$, функция обязательно меняется (синус $\leftrightarrow$ косинус). Забывают об этом чаще всего тогда, когда торопятся и автоматически «копируют» функцию без проверки условия смены.

Неверное сведение больших кратных $\pi$. При работе с аргументами вида $7\pi$, $9\pi$, $-11\pi$ и т.д. иногда забывают, что период именно $2\pi$, а не $\pi$, и получают неверный промежуточный угол. Важно каждый раз чётко представлять число как (нечётное или чётное кратное $\pi$) + целое число периодов $2\pi$.

Смешение разных букв или потеря буквы не в том месте. Если в выражении присутствуют разные буквы (например, и $\alpha$, и $\beta$ в одной задаче — хотя обычно используется одна буква), нужно внимательно следить, к какой букве применяется каждая формула, и не путать их между собой.

Ошибка сокращения дроби. После приведения всех членов к одному виду иногда забывают, что в числителе и знаменателе может стоять один и тот же множитель со знаком минус в обоих местах — тогда минусы взаимно уничтожаются, а не удваиваются. Стоит явно выписывать промежуточный вид дроби перед сокращением, чтобы не потерять знак.

Забывают, что ответ должен быть числом. Если после всех преобразований в ответе осталась буква ($\sin\alpha$ или $\cos\alpha$), значит где-то в применении формул приведения допущена ошибка — конструкция задания всегда предполагает полное сокращение буквенной части.

На что обратить внимание на экзамене

При решении такого задания стоит действовать методично, не пропуская шаги в голове. Сначала полностью привести аргумент каждой функции к простому виду ($0$, $\pi$, $\pi/2$, $3\pi/2$ плюс/минус буква), затем отдельно, построчно применить формулу приведения к каждому слагаемому, обязательно фиксируя на бумаге промежуточный результат — так меньше шансов ошибиться со знаком.

Полезно держать в голове контрольную проверку: если в аргументе есть $\pi/2$ или $3\pi/2$, функция обязана смениться на кофункцию; если только $\pi$, $2\pi$ или их сумма — функция остаётся той же. Это правило стоит проверять сознательно на каждом шаге, а не полагаться на память «в целом».

Перед тем как сокращать дробь, стоит выписать числитель и знаменатель в виде $k\cdot f(\alpha)$, где $f$ — одна и та же функция от одной и той же буквы, а $k$ — числовой коэффициент. Так сокращение становится чисто арифметической операцией и снижается риск ошибки.

Если после всех преобразований буква не исчезла — это сигнал вернуться и перепроверить каждую формулу приведения, а не подставлять произвольное значение угла «на глаз», как иногда пытаются сделать в спешке. Задание построено так, что при верном применении формул буква обязательно сокращается, и в бланк ответов вносится целое или простое рациональное число.