Задача 26781. Преобразования буквенных тригонометрических выражений

Упростим выражение, используя формулы приведения и периодичность.

Шаг 1. Упростим знаменатель.

Для $\cos(\beta + 3\pi)$ применим периодичность косинуса. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому: $$\cos(\beta + 3\pi) = \cos(\beta + 3\pi - 2\pi) = \cos(\beta + \pi)$$

Это позволяет привести угол к более удобному виду.

Шаг 2. Применим формулы приведения к числителю.

• $\cos(\pi - \beta) = -\cos\beta$ (косинус разности, второй квадрант)
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = \cos\beta$ (синус суммы с $\frac{\pi}{2}$ даёт косинус)

Числитель становится: $$3 \cdot (-\cos\beta) + \cos\beta = -3\cos\beta + \cos\beta = -2\cos\beta$$

Шаг 3. Применим формулу приведения к знаменателю.

$\cos(\pi + \beta) = -\cos\beta$ (косинус суммы, третий квадрант)

Знаменатель становится: $-\cos\beta$

Шаг 4. Вычислим дробь.

$$\frac{-2\cos\beta}{-\cos\beta} = 2$$

(при условии $\cos\beta \neq 0$)