ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования буквенных тригонометрических выражений

Задача 26782. Преобразования буквенных тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.5 Формулы приведения1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения дробь: числитель: 2 синус левая круглая скобка альфа минус 7 Пи правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка альфа плюс Пи правая круглая скобка конец дроби .

В подтеме 2 задач
Разбор
Главная идея: Использовать периодичность тригонометрических функций и формулы приведения для упрощения углов, чтобы привести выражение к простому виду.

Упростим числитель и знаменатель отдельно, пользуясь свойствами периодичности и формулами приведения.

Числитель:

2sin⁡(α−7π)+cos⁡(3π2+α)2\sin(\alpha - 7\pi) + \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)

Вычтем 7π7\pi из первого слагаемого. Так как синус имеет период 2π2\pi, то sin⁡(α−7π)=sin⁡(α−8π+π)=sin⁡(α+π)=−sin⁡(α)\sin(\alpha - 7\pi) = \sin(\alpha - 8\pi + \pi) = \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) (используем нечётность синуса и его период).

Для косинуса применим формулу приведения: cos⁡(3π2+α)=sin⁡(α)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha) (это следует из того, что cos⁡(3π2+α)=sin⁡(α)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha)).

Числитель становится: 2(−sin⁡α)+sin⁡α=−2sin⁡α+sin⁡α=−sin⁡α2(-\sin\alpha) + \sin\alpha = -2\sin\alpha + \sin\alpha = -\sin\alpha.

Знаменатель:

sin⁡(α+π)=−sin⁡α\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha (применяем формулу сложения и нечётность: sin⁡(α+π)=−sin⁡α\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha).

Вычисляем дробь:

−sin⁡α−sin⁡α=1\frac{-\sin\alpha}{-\sin\alpha} = 1

Типичные ошибки

  • Ошибка при вычитании кратного 2π2\pi из угла — забывают, что 7π=3⋅2π+π7\pi = 3 \cdot 2\pi + \pi, поэтому sin⁡(α−7π)=sin⁡(α−π)\sin(\alpha - 7\pi) = \sin(\alpha - \pi), а не просто sin⁡α\sin\alpha.
  • Неправильное применение формулы приведения для косинуса: забывают, что cos⁡(3π2+α)=sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha, а не −sin⁡α-\sin\alpha.
  • Вычислительная ошибка при упрощении числителя: −2sin⁡α+sin⁡α=−sin⁡α-2\sin\alpha + \sin\alpha = -\sin\alpha, а не −3sin⁡α-3\sin\alpha.

Ещё задачи этой подтемы