Задание 7 ЕГЭ: преобразование буквенных логарифмических выражений

О чём эта подтема

В задании 7 профильного ЕГЭ часто встречаются задачи, где нужно найти значение логарифмического выражения с буквами, зная значение какого-то другого логарифма (например, $\log_a b$ или $\log_b a$). Числового ответа при этом не получить напрямую — надо выразить искомое выражение через данное с помощью свойств логарифмов.

Суть подтемы — не вычисление, а преобразование: умение разложить сложный логарифм на простые слагаемые, используя формулы логарифма произведения, степени и перехода к другому основанию. Это чисто техническая, алгоритмическая задача: если знать 3-4 формулы и уметь их применять по шагам, ошибиться почти невозможно.

Что нужно знать

Для этой подтемы достаточно небольшого набора формул. Все они должны быть отработаны до автоматизма.

1. Логарифм произведения: $$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y.$$

2. Логарифм частного: $$\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y.$$

3. Логарифм степени: $$\log_a x^k=k\log_a x.$$ Этим свойством пользуются чаще всего — именно оно позволяет "вытащить" показатель степени наружу.

4. Логарифм самого основания: $$\log_a a=1.$$ Это ключевая "опорная точка": как только в разложенном выражении появляется $\log_a a$, его сразу заменяют на 1.

5. Формула перехода к другому основанию (нужна, когда дано значение логарифма с основанием, отличным от того, что в вопросе): $$\log_a b=\frac{1}{\log_b a}.$$ Это частный случай общей формулы смены основания $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$, но в задании 7 обычно нужен именно этот простой вариант — "перевернуть" логарифм.

6. Область определения. Логарифм $\log_a x$ определён при $a>0,\ a\ne1,\ x>0$. В задании 7 это обычно не проверяется отдельно (условие задачи гарантирует корректность), но важно понимать, почему нельзя, скажем, взять $a=1$ или отрицательное число под логарифмом — это объясняет, зачем в формулах вообще нужны эти ограничения.

Больше никаких формул (например, формулу для логарифма суммы — её не существует!) использовать не нужно. Главная ловушка — попытка "разложить" $\log_a(x+y)$ на сумму логарифмов. Такого свойства нет, и если в выражении встречается сумма или разность под знаком логарифма, разложить её через сумму/разность логарифмов нельзя.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения таких задач всегда одинаковый:

Шаг 1. Посмотреть, что дано и что нужно найти. Обратить внимание на основания: если дан логарифм с одним основанием ($\log_b a$), а в вопросе — логарифм с другим основанием ($\log_a(\dots)$), сначала нужно перевести данное значение к нужному основанию по формуле $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$.

Шаг 2. Разложить выражение под знаком логарифма на множители со степенями — так, чтобы там оказались только основание $a$ (в какой-то степени) и буква, значение логарифма которой известно (тоже в какой-то степени).

Шаг 3. Применить свойство логарифма произведения: разбить логарифм произведения на сумму логарифмов отдельных множителей.

Шаг 4. У каждого слагаемого вынести показатель степени за знак логарифма по формуле $\log_a x^k=k\log_a x$.

Шаг 5. Заменить $\log_a a$ на 1, а оставшийся логарифм — на данное в условии числовое значение.

Шаг 6. Выполнить арифметику и получить итоговое число.

Этот алгоритм работает для любого выражения вида $\log_a(a^m b^n)$, где известно значение $\log_a b$ (или его можно получить через переход к обратному основанию).

Разбор примера

Пример 1.

Условие: найдите $\log_a(a^2b^3)$, если $\log_a b=-2$.

Шаг 1. Основания совпадают: и в выражении, и в условии основание $a$. Переводить ничего не нужно.

Шаг 2. Под знаком логарифма уже стоит произведение степеней: $a^2$ и $b^3$. Раскладывать дальше не требуется.

Шаг 3. Применяем свойство логарифма произведения: $$\log_a(a^2b^3)=\log_a a^2+\log_a b^3.$$

Шаг 4. Выносим показатели степеней за знак логарифма: $$=2\log_a a+3\log_a b.$$

Шаг 5. Так как $\log_a a=1$, а по условию $\log_a b=-2$, подставляем эти значения: $$=2\cdot 1+3\cdot(-2).$$

Шаг 6. Считаем: $$=2-6=-4.$$

Ответ: $-4$.

Пример 2.

Условие: найдите значение выражения $\log_a(ab^3)$, если $\log_b a=\dfrac{1}{7}$.

Шаг 1. Здесь дан логарифм $\log_b a$, а спрашивают про логарифм с основанием $a$. Основания разные, поэтому сначала переводим данное значение к нужному виду по формуле $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$: $$\log_a b=\frac{1}{\log_b a}=\frac{1}{\frac{1}{7}}=7.$$

Теперь у нас есть $\log_a b=7$ — именно то, что нужно для дальнейших преобразований.

Шаг 2. Под знаком логарифма стоит произведение $a\cdot b^3$. Заметим, что $a=a^1$.

Шаг 3. Раскладываем логарифм произведения на сумму: $$\log_a(ab^3)=\log_a a+\log_a b^3.$$

Шаг 4. Выносим показатель степени у второго слагаемого: $$=\log_a a+3\log_a b.$$

Шаг 5. Подставляем $\log_a a=1$ и найденное значение $\log_a b=7$: $$=1+3\cdot 7.$$

Шаг 6. Считаем: $$=1+21=22.$$

Ответ: $22$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала привести всё к единому основанию (если нужно), затем разложить произведение под логарифмом на степени того же основания и известной буквы, вынести показатели и подставить числа.

Типичные ошибки

1. Путаница с формулой перехода к обратному основанию. Часто пишут $\log_a b=\log_b a$ или ошибаются со знаком дроби. Запомните твёрдо: $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ — это взаимно обратные числа, а не равные.

2. Попытка разложить логарифм суммы. Если под логарифмом стоит $a+b$ или $a^2+b^3$, никакого разложения через свойства логарифмов не существует. Такое выражение нельзя упростить этим методом — обычно в задании 7 такого и не встречается, если встречается, значит нужно искать другой подход (не подтема).

3. Забывают, что $\log_a a=1$, а не $a$. Иногда ошибочно подставляют вместо $\log_a a$ саму букву $a$ или оставляют логарифм нераскрытым.

4. Ошибка в знаке при вынесении степени. Если под логарифмом стоит выражение вида $a^{-2}$ или $b^{-3}$ (то есть в знаменателе), нужно не забыть отрицательный показатель: $\log_a\left(\dfrac{1}{b^3}\right)=\log_a b^{-3}=-3\log_a b$.

5. Не приводят выражение к виду "степень основания умножить на степень буквы". Например, если дано $\log_a(a\sqrt{b})$, нужно сначала переписать корень как степень: $\sqrt{b}=b^{1/2}$, и только потом раскладывать логарифм произведения.

6. Арифметическая ошибка на последнем шаге. После правильного разложения на слагаемые многие ошибаются в простом умножении или сложении чисел, особенно при отрицательных значениях. Стоит выполнять этот шаг отдельно и внимательно.

На что обратить внимание на экзамене

• Первым делом сравните основание логарифма в вопросе с основанием логарифма в условии. Если они не совпадают (например, дано $\log_b a$, а спрашивают про $\log_a(\dots)$), сразу переведите данное значение по формуле $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ — это самый частый источник ошибок, если пропустить этот шаг.

• Прежде чем раскладывать логарифм произведения, убедитесь, что все корни и дробные степени переписаны в виде $x^{k}$ с явным показателем — так проще применять свойство $\log_a x^k=k\log_a x$ без путаницы.

• Держите в голове, что $\log_a a=1$ — это константа, которая почти всегда появляется в разложении и должна быть заменена числом 1, а не оставлена в виде логарифма.

• Проверяйте знаки при вынесении степеней, особенно если в выражении встречаются дроби или обратные степени ("минус" при показателе легко потерять или, наоборот, добавить лишний).

• После получения численного ответа быстро прикиньте порядок величины: если в условии $\log_a b$ отрицательный, а в выражении этот логарифм умножается на положительный коэффициент, итоговый вклад должен быть отрицательным — такая прикидка помогает заметить арифметическую ошибку до сдачи работы.

• Не тратьте время на проверку области определения переменных (это, как правило, не требуется в задании 7) — фокусируйтесь на правильном применении алгебраических свойств логарифма, это единственное, что реально проверяется в этой подтеме.