ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования буквенных логарифмических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования буквенных логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.2 Логарифм произведения, частного, степени1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения логарифм по основанию a левая круглая скобка ab в кубе правая круглая скобка , если логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

В подтеме 3 задач
Разбор
Главная идея: Разложить логарифм произведения на сумму, использовать свойство степени в логарифме и применить формулу обратности логарифмов для изменения основания.

Разберёмся пошагово.

Шаг 1. Применим свойство логарифма произведения

Выражение log⁡a(ab3)\log_a(ab^3) — это логарифм произведения. По свойству логарифма суммы аргументов: log⁡a(ab3)=log⁡aa+log⁡ab3\log_a(ab^3) = \log_a a + \log_a b^3

Шаг 2. Упростим каждое слагаемое

log⁡aa=1\log_a a = 1 (логарифм основания по самому себе всегда равен 1).

Для второго слагаемого применим свойство степени в логарифме: log⁡ab3=3log⁡ab\log_a b^3 = 3\log_a b

Получаем: log⁡a(ab3)=1+3log⁡ab\log_a(ab^3) = 1 + 3\log_a b

Шаг 3. Найдём log⁡ab\log_a b

Дано условие: log⁡ba=17\log_b a = \frac{1}{7}. Нам нужно log⁡ab\log_a b.

Используем свойство обратности логарифмов: если поменять местами основание и аргумент, логарифмы становятся взаимно обратными: log⁡ab=1log⁡ba=117=7\log_a b = \frac{1}{\log_b a} = \frac{1}{\frac{1}{7}} = 7

Шаг 4. Подставим в формулу

log⁡a(ab3)=1+3⋅7=1+21=22\log_a(ab^3) = 1 + 3 \cdot 7 = 1 + 21 = 22

Типичные ошибки

  • Забыть применить свойство log⁡aa=1\log_a a = 1, что приведёт к потере единицы в ответе.
  • Неправильно применить формулу обратности логарифмов, перепутав числитель и знаменатель при переходе от log⁡ba\log_b a к log⁡ab\log_a b.
  • Не вынести коэффициент 3 из-под логарифма при преобразовании log⁡ab3\log_a b^3, оставив выражение в неупрощённом виде.
Непонятно?

Похожие задачи