ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования буквенных логарифмических выражений

Задача 77415. Преобразования буквенных логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.2 Логарифм произведения, частного, степени1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения логарифм по основанию a левая круглая скобка ab в кубе правая круглая скобка , если логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

В подтеме 3 задач
Разбор
Главная идея: Разложить логарифм произведения на сумму, использовать свойство степени в логарифме и применить формулу обратности логарифмов для изменения основания.

Разберёмся пошагово.

Шаг 1. Применим свойство логарифма произведения

Выражение log⁡a(ab3)\log_a(ab^3) — это логарифм произведения. По свойству логарифма суммы аргументов: log⁡a(ab3)=log⁡aa+log⁡ab3\log_a(ab^3) = \log_a a + \log_a b^3

Шаг 2. Упростим каждое слагаемое

log⁡aa=1\log_a a = 1 (логарифм основания по самому себе всегда равен 1).

Для второго слагаемого применим свойство степени в логарифме: log⁡ab3=3log⁡ab\log_a b^3 = 3\log_a b

Получаем: log⁡a(ab3)=1+3log⁡ab\log_a(ab^3) = 1 + 3\log_a b

Шаг 3. Найдём log⁡ab\log_a b

Дано условие: log⁡ba=17\log_b a = \frac{1}{7}. Нам нужно log⁡ab\log_a b.

Используем свойство обратности логарифмов: если поменять местами основание и аргумент, логарифмы становятся взаимно обратными: log⁡ab=1log⁡ba=117=7\log_a b = \frac{1}{\log_b a} = \frac{1}{\frac{1}{7}} = 7

Шаг 4. Подставим в формулу

log⁡a(ab3)=1+3⋅7=1+21=22\log_a(ab^3) = 1 + 3 \cdot 7 = 1 + 21 = 22

Типичные ошибки

  • Забыть применить свойство log⁡aa=1\log_a a = 1, что приведёт к потере единицы в ответе.
  • Неправильно применить формулу обратности логарифмов, перепутав числитель и знаменатель при переходе от log⁡ba\log_b a к log⁡ab\log_a b.
  • Не вынести коэффициент 3 из-под логарифма при преобразовании log⁡ab3\log_a b^3, оставив выражение в неупрощённом виде.

Ещё задачи этой подтемы