ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования буквенных логарифмических выражений

Задача 77416. Преобразования буквенных логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.2 Логарифм произведения, частного, степени1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите логарифм по основанию a дробь: числитель: a, знаменатель: b в кубе конец дроби , если логарифм по основанию a b=5.

В подтеме 3 задач
Разбор
Главная идея: Разложить логарифм дроби через разность логарифмов, использовать свойство логарифма степени и подставить известное значение логарифма.

Шаг 1. Применим свойство логарифма частного

Дан логарифм дроби: log⁡aab3\log_a \frac{a}{b^3}

По свойству [логарифм частного равен разности логарифмов]: log⁡aab3=log⁡aa−log⁡ab3\log_a \frac{a}{b^3} = \log_a a - \log_a b^3

Шаг 2. Упростим первый логарифм

log⁡aa=1\log_a a = 1 (логарифм основания по самому себе всегда равен 1).

Шаг 3. Применим свойство логарифма степени ко второму логарифму

По свойству [логарифм степени равен произведению показателя на логарифм основания степени]: log⁡ab3=3log⁡ab\log_a b^3 = 3\log_a b

Шаг 4. Подставим известное значение

Нам дано, что log⁡ab=5\log_a b = 5. Получаем: 3log⁡ab=3⋅5=153\log_a b = 3 \cdot 5 = 15

Шаг 5. Вычислим итоговый результат

log⁡aab3=1−15=−14\log_a \frac{a}{b^3} = 1 - 15 = -14

Типичные ошибки

  • Забыть, что логарифм единицы равен нулю, а не то что log⁡aa=0\log_a a = 0 (правильно: log⁡aa=1\log_a a = 1)
  • Неправильно применить свойство логарифма степени: написать log⁡ab3=(log⁡ab)3\log_a b^3 = (\log_a b)^3 вместо 3log⁡ab3\log_a b
  • Ошибиться в знаке: написать log⁡aa+log⁡ab3\log_a a + \log_a b^3 вместо разности (логарифм частного — это разность)

Ещё задачи этой подтемы