Задание 7 ЕГЭ: преобразования алгебраических выражений и дробей

О чём эта подтема

Задание 7 профильного ЕГЭ проверяет умение упрощать алгебраические выражения перед вычислением их значения. В большинстве случаев подставлять числа сразу в исходное выражение либо неудобно, либо вовсе невозможно без предварительного упрощения — выражение слишком громоздкое, содержит дроби с переменными или разности квадратов и разностей.

Смысл подтемы прост: экзаменатор даёт выражение, которое выглядит сложным, но после раскрытия скобок по формулам сокращённого умножения и приведения подобных слагаемых почти всё сокращается, а остаётся простая формула или число. Задача школьника — увидеть эту структуру и грамотно её реализовать: раскрыть скобки, привести подобные, сократить дробь, а уже потом подставлять числовые значения переменных (если они даны).

Это задание базового уровня, оценивается в 1 балл, но именно на нём часто теряют баллы из-за невнимательности при раскрытии скобок и работе со знаками. Уверенное владение формулами сокращённого умножения и правилами действий с дробями снимает эту проблему полностью.

Что нужно знать

Для решения задач этой подтемы достаточно твёрдо знать несколько формул и правил.

Формулы сокращённого умножения: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,$$ $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

В задании 7 чаще всего используются именно квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов — их нужно применять автоматически, без раздумий.

Правила действий с алгебраическими дробями:

• Складывать и вычитать дроби можно только с общим знаменателем, при этом числитель второй дроби при вычитании берётся в скобки, чтобы не потерять знак у всех его слагаемых.
• При умножении дробей числители перемножаются с числителями, знаменатели — со знаменателями, после чего дробь по возможности сокращают.
• Деление дроби на дробь заменяется умножением на дробь, обратную делителю: $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$.
• Деление на одночлен вида $2xy$ — это тоже дробь, и его можно вынести за скобку или сократить с общим множителем числителя.

Работа со знаками при раскрытии скобок:

Если перед скобкой стоит знак «минус», то при раскрытии скобки знаки всех слагаемых внутри неё меняются на противоположные. Эта деталь — источник большинства ошибок в задании 7, поэтому на ней стоит сосредоточиться отдельно.

Приведение подобных слагаемых:

После раскрытия всех скобок нужно аккуратно сгруппировать одинаковые степени переменных ($x^2$ с $x^2$, $xy$ с $xy$ и так далее) и сложить или вычесть их коэффициенты. Часто именно на этом шаге громоздкое выражение сокращается до одного-двух слагаемых.

Больше для этой подтемы, по сути, ничего не требуется: никаких сложных теорем, только точное и внимательное применение перечисленных формул и правил.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задания 7 на преобразование выражений и дробей одинаков практически для всех вариантов и состоит из фиксированной последовательности шагов.

Шаг 1. Определить структуру выражения. Посмотреть, есть ли в выражении скобки, которые нужно раскрыть по формулам сокращённого умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов), и есть ли дробь, в которой стоит деление на переменную или на одночлен.

Шаг 2. Раскрыть скобки по формулам. Применить нужную формулу сокращённого умножения к каждой скобке отдельно, не смешивая шаги. Особое внимание — знаку перед скобкой: если это минус, то при раскрытии все слагаемые внутри неё меняют знак.

Шаг 3. Привести подобные слагаемые. Сгруппировать одинаковые степени переменных и упростить выражение до минимально возможного вида. Часто на этом шаге взаимно уничтожаются старшие степени переменных, и остаётся простое выражение.

Шаг 4. Выполнить деление (если оно есть). Если в задаче требуется разделить получившееся выражение на одночлен или другую дробь, сократить общие множители в числителе и знаменателе.

Шаг 5. Подставить числовые значения переменных, если они даны в условии, и выполнить арифметические вычисления.

Шаг 6. Проверить результат. Убедиться, что все знаки учтены верно, и при возможности проверить вычисление другим способом (например, подставить простые числа в исходное выражение и сравнить с результатом упрощённого).

Важно соблюдать именно эту последовательность: сначала полное алгебраическое упрощение, и только потом — числовая подстановка. Обратный порядок (сразу подставлять числа в громоздкое выражение) резко увеличивает риск арифметической ошибки.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$\left(4x^2+y^2-(2x-y)^2\right):(2xy).$$

Шаг 1. Раскрываем скобку $(2x-y)^2$ по формуле квадрата разности: $$(2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2.$$

Шаг 2. Подставляем результат в исходное выражение. Перед скобкой стоит знак «минус», поэтому при раскрытии все три слагаемых внутри меняют знак: $$4x^2+y^2-(4x^2-4xy+y^2)=4x^2+y^2-4x^2+4xy-y^2.$$

Шаг 3. Приводим подобные слагаемые. Слагаемые $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются, так же как $y^2$ и $-y^2$. Остаётся: $$4xy.$$

Это ключевой момент примера: громоздкое выражение с квадратами полностью «схлопывается» до одного слагаемого — именно так и задумано в задании 7.

Шаг 4. Выполняем деление. Делим получившееся выражение на $2xy$ (это возможно, поскольку по условию $x\neq0$, $y\neq0$): $$\frac{4xy}{2xy}=2.$$

Ответ: 2.

Обратите внимание: значение выражения вообще не зависит от конкретных чисел $x$ и $y$ — оно всегда равно 2 при любых допустимых значениях переменных. Это типичная особенность задания 7: после упрощения переменные могут полностью сократиться.

Пример 2. Найдите значение выражения $$(7x-13)(7x+13)-49x^2+6x+22\quad\text{при } x=80.$$

Шаг 1. Раскрываем произведение по формуле разности квадратов. Выражение $(7x-13)(7x+13)$ имеет вид $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=7x$, $b=13$: $$(7x-13)(7x+13)=49x^2-169.$$

Шаг 2. Подставляем в исходное выражение и приводим подобные. $$49x^2-169-49x^2+6x+22.$$ Слагаемые $49x^2$ и $-49x^2$ взаимно уничтожаются: $$-169+6x+22=6x-147.$$

Выражение упростилось от произведения скобок и квадрата $x$ до линейной функции — теперь подставить конкретное значение $x$ совсем несложно.

Шаг 3. Подставляем $x=80$. $$6\cdot80-147=480-147=333.$$

Ответ: 333.

Оба примера показывают общую логику задания 7: сначала полностью убрать скобки по формулам сокращённого умножения, затем сократить старшие степени переменных, и только на последнем шаге — если нужно — подставить число.

Типичные ошибки

Ошибка в знаке при раскрытии скобки, перед которой стоит минус. Самая частая причина неверного ответа: забывают поменять знак у второго или третьего слагаемого внутри скобки. Например, в примере 1 легко ошибочно записать $4x^2+y^2-4x^2-4xy+y^2$ вместо верного $4x^2+y^2-4x^2+4xy-y^2$, потеряв правильный знак у среднего слагаемого $-4xy$.

Путаница между формулами квадрата суммы и квадрата разности. Иногда вместо $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ по инерции пишут $a^2+2ab+b^2$, теряя знак среднего члена. Стоит проговаривать формулу целиком перед применением, а не воспроизводить её по памяти частично.

Преждевременная подстановка чисел. Попытка сразу подставить числовое значение переменной в неупрощённое выражение приводит к большим и неудобным вычислениям, в которых легко ошибиться. Правильный порядок — сначала алгебраическое упрощение, потом арифметика.

Неверное сокращение дроби. При делении выражения на одночлен (например, на $2xy$) иногда сокращают не все общие множители или ошибочно сокращают слагаемые, которые не являются общим множителем всей суммы, а входят только в одно из слагаемых числителя. Сокращать можно только после полного приведения числителя к одному слагаемому или общему множителю.

Арифметические ошибки на последнем шаге. Даже после верного упрощения выражения возможна ошибка в обычном умножении или вычитании при подстановке числа (как в примере 2 при вычислении $6\cdot80-147$). Финальные вычисления стоит проверять отдельно, не торопясь.

Потеря области допустимых значений. Если в выражении есть деление на переменную, нужно помнить, что она не может равняться нулю, хотя в задании 7 это обычно не влияет на числовой ответ, но важно для общего понимания корректности выражения.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задания 7 на экзамене стоит придерживаться нескольких практических рекомендаций.

Во-первых, не пытайтесь угадать ответ устно — даже если выражение кажется простым, распишите каждый шаг раскрытия скобок на черновике. Экономия времени на промежуточных записях почти всегда оборачивается арифметической ошибкой.

Во-вторых, после раскрытия скобок сразу подчёркивайте или обводите слагаемые, которые взаимно уничтожаются — это снижает риск потерять или продублировать член при приведении подобных.

В-третьих, если в задаче есть числовое значение переменной, подставляйте его только в уже максимально упрощённое выражение — это не только быстрее, но и надёжнее.

В-четвёртых, после получения ответа полезно сделать быструю проверку: подставить в исходное (неупрощённое) выражение какое-нибудь простое числовое значение переменной (если это возможно без деления на ноль) и сравнить результат с упрощённой формулой — совпадение подтвердит правильность преобразований.

Наконец, держите в голове весь список формул сокращённого умножения так, чтобы применять их автоматически: в задании 7 экзамен проверяет не творческий подход, а именно техническую точность и скорость стандартных алгебраических преобразований.