ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования алгебраических выражений и дробей

Задача 26804. Преобразования алгебраических выражений и дробей

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.1 Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Найдите p левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс p левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , если p левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: x минус 3 конец дроби  при x не равно 3.

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Функция p(x)p(x) имеет свойство антисимметрии: при замене xx на 6−x6-x числитель не меняется, а знаменатель меняет знак, что делает два слагаемых противоположными.

Нужно найти сумму p(x)+p(6−x)p(x) + p(6-x), где p(x)=x(6−x)x−3p(x) = \frac{x(6-x)}{x-3}.

Шаг 1. Подставим 6−x6-x в формулу функции вместо xx: p(6−x)=(6−x)(6−(6−x))(6−x)−3p(6-x) = \frac{(6-x)(6-(6-x))}{(6-x)-3}

Упростим аргумент числителя: 6−(6−x)=x6-(6-x) = x

Упростим знаменатель: (6−x)−3=3−x(6-x)-3 = 3-x

Получим: p(6−x)=(6−x)⋅x3−xp(6-x) = \frac{(6-x) \cdot x}{3-x}

Шаг 2. Заметим, что числитель одинаковый: x(6−x)=(6−x)xx(6-x) = (6-x)x

Запишем сумму: p(x)+p(6−x)=x(6−x)x−3+x(6−x)3−xp(x) + p(6-x) = \frac{x(6-x)}{x-3} + \frac{x(6-x)}{3-x}

Шаг 3. Преобразуем знаменатель второй дроби: 3−x=−(x−3)3-x = -(x-3)

Поэтому: p(6−x)=x(6−x)−(x−3)=−x(6−x)x−3p(6-x) = \frac{x(6-x)}{-(x-3)} = -\frac{x(6-x)}{x-3}

Шаг 4. Вычислим сумму: p(x)+p(6−x)=x(6−x)x−3−x(6−x)x−3=0p(x) + p(6-x) = \frac{x(6-x)}{x-3} - \frac{x(6-x)}{x-3} = 0

Типичные ошибки

  • Неправильное упрощение аргумента 6−(6−x)6-(6-x) — получают −x-x вместо xx
  • Ошибка при преобразовании 3−x3-x в −(x−3)-(x-3) — забывают про минус перед дробью
  • Попытка привести к общему знаменателю без предварительного упрощения знаменателей

Ещё задачи этой подтемы