Задача 26803. Преобразования алгебраических выражений и дробей

Дана функция: $$p(b) = \left(b + \frac{3}{b}\right)\left(3b + \frac{1}{b}\right)$$

Нужно найти $\frac{p(b)}{p\left(\frac{1}{b}\right)}$.

Шаг 1. Вычислим $p\left(\frac{1}{b}\right)$.

Подставим $\frac{1}{b}$ вместо $b$ в определение функции: $$p\left(\frac{1}{b}\right) = \left(\frac{1}{b} + \frac{3}{\frac{1}{b}}\right)\left(3 \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{\frac{1}{b}}\right)$$

Шаг 2. Упростим слагаемые.

Для первой скобки: $\frac{3}{\frac{1}{b}} = 3b$, поэтому первая скобка становится $\frac{1}{b} + 3b$.

Для второй скобки: $\frac{1}{\frac{1}{b}} = b$, поэтому вторая скобка становится $\frac{3}{b} + b$.

Итак: $$p\left(\frac{1}{b}\right) = \left(\frac{1}{b} + 3b\right)\left(\frac{3}{b} + b\right)$$

Шаг 3. Сравним с $p(b)$.

Переставим множители в скобках функции $p(b)$:

• первая скобка: $b + \frac{3}{b} = \frac{3}{b} + b$ (от перестановки слагаемых)
• вторая скобка: $3b + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + 3b$ (от перестановки слагаемых)

Получим: $$p(b) = \left(\frac{3}{b} + b\right)\left(\frac{1}{b} + 3b\right)$$

Это то же самое, что $p\left(\frac{1}{b}\right)$, только множители переставлены местами. Поскольку умножение коммутативно, $p(b) = p\left(\frac{1}{b}\right)$.

Шаг 4. Найдём искомое отношение. $$\frac{p(b)}{p\left(\frac{1}{b}\right)} = \frac{p(b)}{p(b)} = 1$$