ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования алгебраических выражений и дробей

Задача 26802. Преобразования алгебраических выражений и дробей

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.1 Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Найдите значение выражения левая круглая скобка 4a в квадрате минус 9 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2a минус 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2a плюс 3 конец дроби правая круглая скобка .

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Распознать разность квадратов в первой скобке, привести дроби ко второй скобке к общему знаменателю, после чего общие множители сократятся и останется только числовой ответ.

Распишем выражение и упростим его поэтапно.

Шаг 1: Разложим первую скобку на множители

4a2−9=(2a)2−32=(2a−3)(2a+3)4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2 = (2a-3)(2a+3)

Это разность квадратов: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

Шаг 2: Упростим вторую скобку (дроби)

Приводим дроби к общему знаменателю (2a−3)(2a+3)(2a-3)(2a+3):

12a−3−12a+3=(2a+3)−(2a−3)(2a−3)(2a+3)=2a+3−2a+3(2a−3)(2a+3)=6(2a−3)(2a+3)\frac{1}{2a-3} - \frac{1}{2a+3} = \frac{(2a+3) - (2a-3)}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{2a+3-2a+3}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{6}{(2a-3)(2a+3)}

В числителе: раскрываем скобки и получаем 66 (остальные члены сокращаются).

Шаг 3: Перемножим результаты

(2a−3)(2a+3)⋅6(2a−3)(2a+3)=6(2a-3)(2a+3) \cdot \frac{6}{(2a-3)(2a+3)} = 6

Множители (2a−3)(2a+3)(2a-3)(2a+3) в числителе и знаменателе сокращаются, остаётся просто 66.

Типичные ошибки

  • Забыли разложить 4a2−94a^2-9 как разность квадратов и попытались работать с выражением в неподходящей форме
  • При вычитании дробей ошибка в раскрытии скобок в числителе — важно правильно изменить знак: −(2a−3)=−2a+3-(2a-3) = -2a+3
  • Забыли, что после сокращения общих множителей остаётся только константа 66, а не выражение с переменной

Ещё задачи этой подтемы