ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования алгебраических выражений и дробей

Задача 26797. Преобразования алгебраических выражений и дробей

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.1.3 Дроби, проценты, рациональные числа1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите значение выражения дробь: числитель: левая круглая скобка 5a в квадрате правая круглая скобка в кубе умножить на левая круглая скобка 6b правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 30a в кубе b правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Возвести в степень каждый множитель по отдельности, затем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе, используя правила работы со степенями.

Преобразуем выражение пошагово, используя свойства степеней.

Шаг 1: Возведём в степень каждый множитель в числителе и знаменателе.

Числитель: (5a2)3⋅(6b)2=53⋅a6⋅62⋅b2=125a6⋅36b2(5a^2)^3 \cdot (6b)^2 = 5^3 \cdot a^6 \cdot 6^2 \cdot b^2 = 125a^6 \cdot 36b^2

Знаменатель: (30a3b)2=302⋅a6⋅b2=900a6b2(30a^3b)^2 = 30^2 \cdot a^6 \cdot b^2 = 900a^6b^2

Шаг 2: Запишем дробь с раскрытыми степенями:

53⋅a6⋅62⋅b2302⋅a6⋅b2\frac{5^3 \cdot a^6 \cdot 6^2 \cdot b^2}{30^2 \cdot a^6 \cdot b^2}

Шаг 3: Сократим одинаковые множители. В числителе и знаменателе есть a6a^6 и b2b^2 — они взаимно сокращаются:

53⋅62302\frac{5^3 \cdot 6^2}{30^2}

Шаг 4: Заметим, что 30=5⋅630 = 5 \cdot 6, значит 302=52⋅6230^2 = 5^2 \cdot 6^2. Подставим:

53⋅6252⋅62\frac{5^3 \cdot 6^2}{5^2 \cdot 6^2}

Шаг 5: Сократим 626^2:

5352=53−2=51=5\frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5

Типичные ошибки

  • Забыли применить степень к каждому множителю отдельно: например, неправильно раскрыли (5a2)3(5a^2)^3 как 5a65a^6 вместо 53a65^3a^6
  • Ошибка при разложении: не заметили, что 302=(5⋅6)2=52⋅6230^2 = (5 \cdot 6)^2 = 5^2 \cdot 6^2, что позволяет сократить множители
  • Неправильно сократили степени: забыли применить правило aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Ещё задачи этой подтемы