Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования алгебраических выражений и дробей

Преобразуем выражение пошагово, используя свойства степеней.

Шаг 1: Возведём в степень каждый множитель в числителе и знаменателе.

Числитель: $(5a^2)^3 \cdot (6b)^2 = 5^3 \cdot a^6 \cdot 6^2 \cdot b^2 = 125a^6 \cdot 36b^2$

Знаменатель: $(30a^3b)^2 = 30^2 \cdot a^6 \cdot b^2 = 900a^6b^2$

Шаг 2: Запишем дробь с раскрытыми степенями:

$$\frac{5^3 \cdot a^6 \cdot 6^2 \cdot b^2}{30^2 \cdot a^6 \cdot b^2}$$

Шаг 3: Сократим одинаковые множители. В числителе и знаменателе есть $a^6$ и $b^2$ — они взаимно сокращаются:

$$\frac{5^3 \cdot 6^2}{30^2}$$

Шаг 4: Заметим, что $30 = 5 \cdot 6$, значит $30^2 = 5^2 \cdot 6^2$. Подставим:

$$\frac{5^3 \cdot 6^2}{5^2 \cdot 6^2}$$

Шаг 5: Сократим $6^2$:

$$\frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$$