Действия со степенями в задании 7 ЕГЭ: правила и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 7 в профильном ЕГЭ по математике проверяет умение выполнять вычисления и тождественные преобразования выражений. Одна из самых частых разновидностей этого задания — выражения, где переменная (или число) стоит в разных степенях, а их нужно объединить в одно число, обычно не зависящее от значения переменной.

Типичная структура такого задания — дробь, в числителе и знаменателе которой стоят произведения степеней, степени в степени или скобки, возведённые в степень. Задача — довести выражение до вида, где всё сокращается, и получить конкретное число (целое или дробное).

Эта подтема считается одной из самых «технических»: она не требует сложных идей, но требует безошибочного применения формул. Ошибка в одном показателе степени — и весь ответ неверный. Поэтому здесь важна не столько сообразительность, сколько аккуратность и знание правил наизусть.

Что нужно знать

Для решения таких заданий достаточно нескольких базовых свойств степеней. Все они формулируются для степеней с одинаковым основанием $a \neq 0$ и любыми целыми показателями $m, n$.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ При умножении степеней показатели складываются, основание остаётся тем же.

2. Деление степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ При делении показатели вычитаются (из показателя числителя вычитается показатель знаменателя).

3. Степень степени: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ При возведении степени в степень показатели умножаются.

4. Степень произведения: $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ Каждый множитель произведения возводится в степень отдельно. Это правило особенно важно, когда в скобке стоит число и переменная — например, $(3x)^3 = 27x^3$, а не $3x^3$.

5. Степень дроби: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

6. Отрицательный показатель: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0$$ Отрицательный показатель означает переход к обратной дроби, но на практике в заданиях 7 удобнее работать с отрицательными показателями напрямую, складывая и вычитая их по общим правилам, без перехода к дробям.

7. Нулевой показатель: $$a^0 = 1, \quad a \neq 0$$ Любое ненулевое число или переменная в нулевой степени равны единице.

8. Дробный показатель (корень): $$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$ Это правило встречается реже в чисто «степенных» примерах, но важно помнить о нём, если в условии появляются корни.

Важное уточнение: все перечисленные правила работают только тогда, когда основания степеней одинаковы. Если в выражении встречаются разные основания (например, степени числа 2 и числа 3), сначала нужно привести их к общему основанию (если это возможно), а уже потом применять правила.

Ещё один момент, который нужно держать в голове: при сложении и вычитании степеней (а не при умножении и делении) правила складывания показателей не работают. $a^m + a^n \neq a^{m+n}$. Складывать можно только подобные слагаемые — то есть степени с полностью одинаковым основанием и показателем, как обычные одночлены: $7m^{30} + 11m^{30} = 18m^{30}$.

Как решать: метод и алгоритм

При решении заданий этого типа удобно придерживаться следующего порядка действий.

Шаг 1. Разбить выражение на части. Если дана дробь, отдельно разбираем числитель и отдельно знаменатель. Если в числителе или знаменателе стоит сумма, каждое слагаемое обрабатывается отдельно, пока не приведено к одночлену вида $k \cdot a^n$.

Шаг 2. Раскрыть все скобки со степенями. Применяем правило степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и правило степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$. Важно не забывать возводить в степень числовой коэффициент — это самая частая точка потери баллов.

Шаг 3. Привести подобные слагаемые (если есть сумма или разность). Складываем или вычитаем коэффициенты при одинаковых степенях переменной, сама степень при этом не меняется.

Шаг 4. Умножить или разделить степени с одинаковым основанием. Используем сложение показателей при умножении и вычитание при делении. Коэффициенты (числа) обрабатываются отдельно от переменных.

Шаг 5. Сократить дробь. Если после всех преобразований в числителе и знаменателе стоит одна и та же степень переменной, она сокращается (при условии, что переменная не равна нулю — это условие обычно подразумевается по смыслу задачи). В результате остаётся числовая дробь.

Шаг 6. Вычислить итоговое числовое значение. Сократить или разделить получившиеся числа, при необходимости перевести обычную дробь в десятичную — ответы в этом задании часто записываются десятичной дробью.

Ключевая идея метода: степенное выражение нужно разложить на «числовую» и «переменную» части и работать с каждой отдельно, а соединять их только в самом конце. Это снижает риск арифметической ошибки, потому что не приходится держать в голове сразу всё выражение целиком.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$\frac{7(m^5)^6 + 11(m^3)^{10}}{(3m^{15})^2}$$

Шаг 1. Разбираем числитель.

Первое слагаемое: применяем правило степени степени. $$7(m^5)^6 = 7 m^{5\cdot 6} = 7m^{30}$$

Второе слагаемое: аналогично. $$11(m^3)^{10} = 11 m^{3\cdot 10} = 11m^{30}$$

Получили два слагаемых с одинаковой степенью переменной — $m^{30}$. Это значит, их можно складывать как подобные одночлены, складывая только коэффициенты: $$7m^{30} + 11m^{30} = (7+11)m^{30} = 18m^{30}$$

Шаг 2. Разбираем знаменатель.

Применяем правило степени произведения — возводим в квадрат и число, и переменную: $$(3m^{15})^2 = 3^2 \cdot (m^{15})^2 = 9 \cdot m^{15\cdot 2} = 9m^{30}$$

Шаг 3. Составляем дробь и сокращаем.

$$\frac{18m^{30}}{9m^{30}}$$

В числителе и знаменателе одна и та же степень $m^{30}$ — она сокращается:

$$\frac{18m^{30}}{9m^{30}} = \frac{18}{9} = 2$$

Ответ: 2. Заметьте, что итоговый результат вообще не зависит от значения $m$ — это характерный признак правильно упрощённого выражения такого типа: если после сокращения переменная осталась в ответе, значит, где-то допущена ошибка.

Пример 2. Найдите значение выражения $$\frac{(3x)^3 \cdot x^{-9}}{x^{-10} \cdot 2x^4}$$

Шаг 1. Раскрываем куб произведения в числителе.

$$(3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 = 27x^3$$

Шаг 2. Упрощаем числитель, умножая степени с одинаковым основанием.

$$27x^3 \cdot x^{-9} = 27 \cdot x^{3+(-9)} = 27x^{-6}$$

Показатели складываются: $3 + (-9) = -6$.

Шаг 3. Упрощаем знаменатель тем же способом.

$$x^{-10}\cdot 2x^4 = 2\cdot x^{-10+4} = 2x^{-6}$$

Шаг 4. Делим числитель на знаменатель.

Отдельно делим коэффициенты и отдельно — степени переменной: $$\frac{27x^{-6}}{2x^{-6}} = \frac{27}{2}\cdot x^{-6-(-6)} = \frac{27}{2}\cdot x^0$$

Показатель $-6-(-6)=0$, а любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $$x^0 = 1$$

Шаг 5. Вычисляем итог.

$$\frac{27}{2}\cdot 1 = \frac{27}{2} = 13{,}5$$

Ответ: 13,5.

Оба примера показывают общую логику: сначала раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, затем применить правила умножения/деления степеней с одинаковым основанием, и только в конце — сократить переменную часть, оставив чистое число.

Типичные ошибки

Забывают возвести в степень числовой коэффициент. Самая распространённая ошибка: $(3m^{15})^2$ считают как $3m^{30}$, забывая, что тройку тоже нужно возвести в квадрат — правильно $9m^{30}$. Аналогично с $(3x)^3$ — часто пишут $3x^3$ вместо $27x^3$.

Складывают показатели при сложении, а не при умножении. Ошибочно думают, что $a^m + a^n = a^{m+n}$. Это правило работает только для умножения. При сложении и вычитании степени с одинаковым показателем и основанием складываются как обычные подобные слагаемые, коэффициент меняется, а показатель степени остаётся неизменным.

Путают знаки при вычитании показателей. При делении степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ легко ошибиться со знаком, особенно если показатели отрицательные. Например, $x^{-10}$ разделить на $x^{-6}$ даёт показатель $-10-(-6) = -4$, а не $-10-6=-16$. Рекомендуется всегда явно записывать вычитание в скобках, не упрощая знаки в уме.

Забывают о степени степени внутри произведения. При раскрытии выражения вида $(a^m b^n)^k$ иногда возводят в степень $k$ только один из множителей, а не оба.

Не приводят выражение к одному основанию перед применением правил. Если в задаче встречаются степени с разными основаниями (например, степени двойки и четвёрки), нельзя напрямую складывать или вычитать показатели — сначала нужно привести к общему основанию, иначе правила степеней неприменимы.

Ошибка при переводе обыкновенной дроби в десятичную. Даже если все степени упрощены верно, финальный числовой ответ вроде $\frac{27}{2}$ иногда записывают неверно как десятичную дробь. Стоит перепроверять деление в столбик, если результат не «круглый».

Сокращение степеней без учёта области определения. Формально сокращение $\frac{m^{30}}{m^{30}}=1$ верно только при $m \neq 0$. В заданиях ЕГЭ обычно это подразумевается автоматически (иначе выражение не имело бы смысла), но полезно держать это в уме как проверку логики решения.

На что обратить внимание на экзамене

При решении заданий на действия со степенями стоит взять за привычку записывать каждое применение правила отдельной строкой, а не пытаться в голове сразу сворачивать несколько шагов. Такая пошаговая запись экономит время на проверке и снижает риск арифметической ошибки при работе с показателями, особенно отрицательными.

Полезно заранее проверять, что в результате все степени переменной действительно сокращаются и в ответе остаётся чистое число. Если после всех преобразований переменная всё ещё присутствует в ответе, это почти всегда сигнал, что где-то допущена ошибка — задание 7 подобного типа почти всегда сконструировано так, чтобы переменная сокращалась полностью.

Стоит отдельно проверять числовые коэффициенты: возведение в степень числа (например, $3^2=9$, $3^3=27$) — это отдельное действие, которое легко забыть, увлёкшись работой с показателями переменной. Рекомендуется сначала полностью обработать числовую часть выражения, а затем — степенную, и лишь потом соединить результаты.

Если итоговый ответ получается в виде обыкновенной дроби, нужно аккуратно перевести её в десятичную запись, если этого требует формат ответа, и проверить деление, а не полагаться на память о «круглых» значениях.

Наконец, полезно держать под рукой полный список из восьми базовых свойств степеней и периодически их повторять — в таких заданиях экзаменаторы часто комбинируют сразу три-четыре правила в одном примере, и знание формул наизусть напрямую влияет на скорость и точность решения.