ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Действия со степенями

Задача 77396. Действия со степенями

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.1.7 Свойства степени с действительным показателем1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите значение выражения x умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на 9 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка при x=5.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Нужно представить все степени с одним основанием (основание 3), затем использовать правила сложения показателей степеней при умножении.

Дано выражение x⋅32x+1⋅9−xx \cdot 3^{2x+1} \cdot 9^{-x} при x=5x=5.

Шаг 1. Приведём все степени к одному основанию.

Заметим, что 9=329 = 3^2, поэтому: 9−x=(32)−x9^{-x} = (3^2)^{-x}

Шаг 2. Применим свойство степеней: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}.

(32)−x=32⋅(−x)=3−2x(3^2)^{-x} = 3^{2 \cdot (-x)} = 3^{-2x}

Теперь выражение имеет вид: x⋅32x+1⋅3−2xx \cdot 3^{2x+1} \cdot 3^{-2x}

Шаг 3. Применим свойство степеней: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}.

Сложим показатели при основании 3: 32x+1⋅3−2x=3(2x+1)+(−2x)=32x+1−2x=31=33^{2x+1} \cdot 3^{-2x} = 3^{(2x+1) + (-2x)} = 3^{2x + 1 - 2x} = 3^1 = 3

Шаг 4. Упростим исходное выражение: x⋅3=3xx \cdot 3 = 3x

Шаг 5. Подставим x=5x = 5: 3⋅5=153 \cdot 5 = 15

Типичные ошибки

  • Забыли переписать 9−x9^{-x} как 3−2x3^{-2x}, ошибка в преобразовании основания.
  • При сложении показателей степеней ошибочно вычислили (2x+1)+(−2x)(2x+1) + (-2x), забыли, что коэффициенты сокращаются.
  • Подставили значение x=5x=5 слишком рано, не упростив выражение, что привело к сложным вычислениям со степенями.

Ещё задачи этой подтемы