Задание 7 ЕГЭ: преобразования числовых иррациональных выражений

О чём эта подтема

В задании 7 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются числовые выражения, где есть квадратные корни, степени и дроби. Задача — не «в лоб» посчитать громоздкие числа, а увидеть в выражении скрытую структуру: формулу сокращённого умножения, свойство степени или свойство корня. Тот, кто умеет это видеть, решает пример за 20–30 секунд. Тот, кто пытается честно перемножать трёхзначные числа, теряет время и почти гарантированно ошибается в арифметике.

Эта подтема — про числовые (не буквенные) иррациональные выражения. Здесь нет переменных и области допустимых значений, всё сводится к аккуратному применению тождеств и свойств корней к конкретным числам. Именно поэтому такие задания решаются быстро — если знать, на какие «крючки» смотреть.

Что нужно знать

Для этой подтемы достаточно небольшого, но твёрдо усвоенного набора фактов.

1. Свойство извлечения корня из квадрата. $$\sqrt{a^2} = |a|.$$ Если заранее известно, что выражение под корнем неотрицательно (например, это разность квадратов положительных чисел, дающая положительный результат), модуль просто равен самому числу.

2. Возведение корня в квадрат. $$(\sqrt{a})^2 = a, \quad a \ge 0.$$ Это действие обратно первому и часто используется, когда корень стоит в скобке, а вся скобка возводится в квадрат.

3. Формулы сокращённого умножения — главный инструмент подтемы: $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b),$$ $$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2.$$ Чаще всего в задании 7 встречается именно разность квадратов: под корнем стоит выражение вида $A^2 - B^2$, которое раскладывается в произведение двух множителей, вычисляемых устно.

4. Свойства степеней: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.$$

5. Свойства арифметического квадратного корня: $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}, \qquad \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a.$$

6. Таблица квадратов чисел от 1 до 30 — знание наизусть или умение быстро восстановить квадраты двузначных чисел резко ускоряет решение, потому что многие выражения строятся вокруг «красивых» чисел (49, 64, 81, 121, 144 и т. д.).

7. Умение видеть удобное разложение числа на множители или на сумму/разность квадратов — это не формула, а навык, который тренируется практикой.

Больше в этой подтеме знать не нужно: никаких кубических корней, логарифмов или тригонометрии здесь не бывает — только квадратные корни, степени и элементарные тождества.

Как решать: метод и алгоритм

При встрече с числовым иррациональным выражением стоит действовать по чёткой схеме, а не считать «в лоб».

Шаг 1. Посмотреть на общую структуру выражения. Есть ли под корнем разность квадратов? Есть ли скобка со степенью 2, внутри которой корень? Есть ли дробь, где числитель и знаменатель можно сократить после упрощения?

Шаг 2. Применить подходящую формулу, не вычисляя степени напрямую. Если видно выражение $A^2 - B^2$ под корнем — сразу раскладываем на $(A-B)(A+B)$ и считаем эти множители устно, а не квадраты больших чисел.

Шаг 3. Снять внешние операции. Если есть скобка вида $(\sqrt{n})^2$ — она равна $n$. Если есть $\sqrt{n^2}$ — она равна $|n|$, а поскольку в задании 7 числа обычно положительные, чаще просто $n$.

Шаг 4. Упростить получившееся числовое выражение. Сократить дробь, вынести общий множитель, сложить или вычесть остаток.

Шаг 5. Проверить результат на разумность. Значение арифметического корня не может быть отрицательным. Если после вычислений получилось отрицательное число под корнем или странно большое значение — где-то допущена ошибка, нужно перепроверить шаги.

Главная идея метода: перед тем как начинать считать, нужно распознать формулу. Числа в задании 7 почти никогда не подобраны случайно — они специально выбраны так, чтобы образовать разность квадратов, полный квадрат или сократимую дробь.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$\sqrt{65^2 - 56^2}.$$

Шаг 1. Смотрим на структуру: под корнем стоит разность двух квадратов $65^2 - 56^2$. Это прямой сигнал применить формулу разности квадратов, а не вычислять $65^2$ и $56^2$ по отдельности (хотя это тоже возможно, но медленнее и рискованнее с точки зрения арифметики).

Шаг 2. Применяем формулу: $$65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56).$$

Шаг 3. Вычисляем множители устно: $$65 - 56 = 9, \qquad 65 + 56 = 121.$$

Шаг 4. Перемножаем: $$9 \cdot 121 = 1089.$$

Шаг 5. Извлекаем корень: $$\sqrt{1089} = 33,$$ поскольку $33^2 = 1089$ (это легко проверить: $33^2 = (30+3)^2 = 900+180+9=1089$).

Ответ: 33.

Обратите внимание, что если бы мы попытались напрямую посчитать $65^2=4225$ и $56^2=3136$, а потом вычесть ($4225-3136=1089$) и извлечь корень, результат получился бы тот же, но вероятность арифметической ошибки при работе с четырёхзначными числами заметно выше. Разложение на множители через формулу разности квадратов — более быстрый и надёжный путь.

Пример 2. Найдите значение выражения $$\frac{(2\sqrt{7})^2}{14}.$$

Шаг 1. В числителе стоит скобка, возведённая в квадрат, внутри которой есть произведение числа и корня. Здесь нужно применить свойство возведения произведения в степень: $(ab)^2 = a^2 b^2$.

Шаг 2. Раскрываем скобку: $$(2\sqrt{7})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28.$$

Здесь использовано ключевое тождество $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$: поскольку $7>0$, $(\sqrt7)^2=7$ без всяких модулей.

Шаг 3. Подставляем полученное значение числителя в дробь: $$\frac{28}{14}.$$

Шаг 4. Сокращаем дробь: $$\frac{28}{14} = 2.$$

Ответ: 2.

Этот пример показывает вторую типичную конструкцию подтемы: скобка со степенью, в которой спрятан корень. Важно не пугаться внешнего вида выражения, а сразу применить свойство степени произведения, после чего корень «уходит» и остаётся чисто числовая арифметика.

Типичные ошибки

Забывают о модуле при извлечении корня из квадрата. Строго говоря, $\sqrt{a^2}=|a|$, а не просто $a$. В большинстве заданий 7 итоговое число оказывается положительным, и ошибка не проявляется, но привычка писать $\sqrt{a^2}=a$ без объяснения может подвести в задачах с отрицательными выражениями внутри скобки.

Пытаются вычислить квадраты больших чисел напрямую. Вместо применения формулы разности квадратов школьники честно возводят в квадрат двузначные и трёхзначные числа, тратят время и чаще ошибаются в разрядах. Гораздо быстрее и надёжнее сначала разложить выражение на множители.

Путают два похожих тождества. $(\sqrt{a})^2 = a$ и $\sqrt{a^2} = |a|$ — это разные операции (сначала корень потом квадрат, и наоборот), и их легко перепутать местами, особенно под давлением времени на экзамене.

Ошибки в знаках при раскрытии скобок. При работе с формулой $(a-b)(a+b)$ иногда путают порядок вычитания или складывают вместо того, чтобы вычесть, что даёт неверный множитель.

Не доводят дробь до конца. После упрощения числителя и знаменателя забывают сократить получившуюся дробь до целого числа или простейшего вида, оставляя ответ в неудобной форме, которая не совпадает с ожидаемым числовым ответом.

Игнорируют проверку на разумность ответа. Если в процессе вычислений получилось отрицательное число под корнем, значит, где-то допущена ошибка на предыдущих шагах — это сигнал вернуться и перепроверить преобразования, а не механически писать неверный итоговый ответ.

На что обратить внимание на экзамене

На экзамене важна скорость без потери точности. Прежде чем считать что-либо, полезно потратить несколько секунд, чтобы распознать структуру выражения: разность квадратов, полный квадрат или свойство степени. Это экономит время намного эффективнее, чем быстрый счёт в столбик.

Стоит держать в голове таблицу квадратов чисел от 1 до 30–35 — многие «красивые» числа в заданиях (121, 144, 169, 225, 1089 и подобные) узнаются мгновенно, если эта таблица знакома наизусть.

При переписывании условия с экрана или бланка нужно быть особенно внимательным к тому, что стоит под корнем целиком, а что — только в скобке: пропущенная или лишняя скобка полностью меняет смысл выражения и приводит к неверному ответу.

После получения числового ответа полезно за пару секунд проверить его правдоподобие: разумный ли порядок величины, не отрицательное ли число получилось там, где должен быть корень, сокращена ли дробь до предела. Такая финальная проверка отсекает большую часть механических ошибок и почти не отнимает времени.

Наконец, лучший способ подготовки к этой подтеме — прорешать десятки однотипных примеров, чтобы формулы разности квадратов, квадрата суммы и свойства корней применялись автоматически, без раздумий. Тогда на самом экзамене задание 7 будет занимать не более минуты.