ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых иррациональных выражений

Задача 26752. Преобразования числовых иррациональных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите значение выражения 5 умножить на корень 3 степени из: начало аргумента: 9 конец аргумента умножить на корень 6 степени из: начало аргумента: 9 конец аргумента .

В подтеме 13 задач
Разбор
Главная идея: Переведи корни в показатели степеней, применяй правило сложения показателей при умножении степеней с одним основанием.

Преобразуем корни в степени с дробными показателями, используя определение: an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}.

5⋅93⋅96=5⋅913⋅9165 \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[6]{9} = 5 \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}}

Теперь применим свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются — am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}.

5⋅913⋅916=5⋅913+165 \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}} = 5 \cdot 9^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}

Сложим показатели степеней. Приведём к общему знаменателю: 13+16=26+16=36=12\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Получаем: 5⋅912=5⋅9=5⋅3=155 \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 5 \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15

Это работает, так как 912=9=39^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 по определению квадратного корня.

Типичные ошибки

  • Забыли привести показатели к общему знаменателю перед сложением: 13+16\frac{1}{3} + \frac{1}{6} нужно считать как 26+16\frac{2}{6} + \frac{1}{6}, а не оставлять в исходном виде.
  • Неправильно сложили дроби: например, получили 19\frac{1}{9} вместо 12\frac{1}{2}, что привело бы к 9199^{\frac{1}{9}} и неверному ответу.
  • Забыли упростить 9129^{\frac{1}{2}} до 3 и дали в ответе 595\sqrt{9} или другое промежуточное выражение вместо финального числа.

Ещё задачи этой подтемы