Задача 26745. Преобразования числовых иррациональных выражений

Преобразуем корни в степени с дробными показателями:

$$\sqrt[9]{7} = 7^{\frac{1}{9}}, \quad \sqrt[18]{7} = 7^{\frac{1}{18}}, \quad \sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}}$$

Подставляем в исходное выражение:

$$\frac{7^{\frac{1}{9}} \cdot 7^{\frac{1}{18}}}{7^{\frac{1}{6}}}$$

В числителе используем свойство произведения степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$$7^{\frac{1}{9}} \cdot 7^{\frac{1}{18}} = 7^{\frac{1}{9} + \frac{1}{18}}$$

Сложим дроби в показателе. Приведём к общему знаменателю 18:

$$\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$$

Получаем:

$$\frac{7^{\frac{1}{6}}}{7^{\frac{1}{6}}}$$

Применяем свойство деления степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

$$7^{\frac{1}{6} - \frac{1}{6}} = 7^0 = 1$$