ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых иррациональных выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых иррациональных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите значение выражения левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка .

В подтеме 13 задач
Разбор
Главная идея: Произведение суммы и разности одинаковых выражений равно разности их квадратов: (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

Дано произведение: (13−7)(13+7)\left(\sqrt{13} - \sqrt{7}\right)\left(\sqrt{13} + \sqrt{7}\right).

Рассмотрим скобки: первая содержит разность, вторая — сумму одних и тех же выражений. Это классическая ситуация для применения формулы разности квадратов: (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

Обозначим a=13a = \sqrt{13} и b=7b = \sqrt{7}. Тогда:

(13−7)(13+7)=(13)2−(7)2\left(\sqrt{13} - \sqrt{7}\right)\left(\sqrt{13} + \sqrt{7}\right) = \left(\sqrt{13}\right)^2 - \left(\sqrt{7}\right)^2

По свойству корня: (n)2=n(\sqrt{n})^2 = n для положительных nn. Поэтому:

(13)2−(7)2=13−7=6\left(\sqrt{13}\right)^2 - \left(\sqrt{7}\right)^2 = 13 - 7 = 6

Иррациональные корни исчезли благодаря формуле разности квадратов — корни «сократились» при возведении в степень.

Типичные ошибки

  • Попытка раскрыть скобки без применения формулы, что приводит к ошибкам в арифметике с корнями.
  • Ошибочное применение формулы (a−b)2(a - b)^2, которая не подходит, так как скобки разные (вычитание и сложение).
  • Забывание, что (n)2=n(\sqrt{n})^2 = n, и попытка оставить результат в виде 132−72\sqrt{13^2} - \sqrt{7^2} вместо упрощения.
Непонятно?

Похожие задачи