ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых иррациональных выражений

Задача 26735. Преобразования числовых иррациональных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите значение выражения корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента в квадрате минус 56 в квадрате .

В подтеме 13 задач
Разбор
Главная идея: Разность квадратов под корнем удобнее всего разложить по формуле (a2−b2)=(a+b)(a−b)(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b), чтобы получить произведение чисел, из которых легко извлекается корень.

Под корнем стоит разность квадратов двух чисел. Применим формулу [a в квадрате минус b в квадрате равно (a плюс b)(a минус b)]:

652−562=(65+56)(65−56)\sqrt{65^2 - 56^2} = \sqrt{(65 + 56)(65 - 56)}

Вычислим каждую скобку:

  • 65+56=12165 + 56 = 121
  • 65−56=965 - 56 = 9

Получаем: 121⋅9\sqrt{121 \cdot 9}

Используем свойство корня из произведения [корень из произведения равен произведению корней]: 121⋅9=121⋅9\sqrt{121 \cdot 9} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{9}

Вычислим каждый корень:

  • 121=11\sqrt{121} = 11 (так как 112=12111^2 = 121)
  • 9=3\sqrt{9} = 3 (так как 32=93^2 = 9)

Умножаем результаты: 11⋅3=3311 \cdot 3 = 33

Типичные ошибки

  • Попытка вычислить 65265^2 и 56256^2 отдельно, а потом вычитать большие числа — это ведёт к ошибкам в арифметике
  • Забывают применить формулу разности квадратов и пытаются упростить выражение другими способами
  • Ошибка при извлечении корня из произведения — забывают, что a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Ещё задачи этой подтемы