Задача 77405. Преобразования числовых иррациональных выражений

Преобразуем корни в степени с дробными показателями:

$$\sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}}$$

$$\sqrt[6]{49} = 49^{\frac{1}{6}}$$

Произведение степеней с одинаковым основанием: складываем показатели степеней:

$$49^{\frac{1}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{6}} = 49^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$$

Сложим дроби в показателе. Приведём к общему знаменателю 6:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Получаем:

$$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$$

Проверка: заметим, что $49 = 7^2$, поэтому $49^{\frac{1}{2}} = (7^2)^{\frac{1}{2}} = 7^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 7^1 = 7$.