Задание 7 ЕГЭ: вычисление значений степенных выражений

О чём эта подтема

В задании 7 профильного ЕГЭ часто встречаются выражения, где числа записаны как степени с дробными (десятичными) показателями, и требуется найти числовое значение всего выражения. Обычно основания степеней связаны между собой: одно число является степенью другого (например, $25 = 5^2$, $9 = 3^2$, $8 = 2^3$, $27 = 3^3$). Задача сводится к тому, чтобы привести все степени к одному основанию и затем воспользоваться правилами действий со степенями — умножением, делением, возведением степени в степень.

Эта подтема проверяет не умение считать в столбик, а умение видеть скрытую связь между числами и грамотно применять свойства степеней. Как правило, ответ получается целым или простым рациональным числом, что служит хорошей проверкой правильности решения.

Что нужно знать

Для решения задач этой подтемы достаточно твёрдо знать несколько свойств степеней и уметь представлять числа как степени общего основания.

Основные свойства степеней (для $a > 0$, любых действительных показателей $m, n$):

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

2. Деление степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

3. Возведение степени в степень: $$(a^m)^n = a^{mn}$$

4. Степень произведения: $$(ab)^n = a^n b^n$$

5. Степень дроби: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

6. Отрицательный показатель: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

7. Дробный показатель (связь со корнями): $$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Умение видеть общее основание. Ключевой навык — быстро узнавать, что одно число является степенью другого. Самые частые связки в задачах:

• $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$, $64 = 2^6$
• $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$
• $25 = 5^2$, $125 = 5^3$
• $49 = 7^2$
• $36 = 6^2$, $100 = 10^2$

Если числа в основаниях не совпадают напрямую, стоит проверить, не являются ли оба числа степенями одного и того же меньшего числа.

Работа с десятичными показателями. Показатели степени в таких заданиях часто даны в виде десятичных дробей (например, $0{,}36$, $6{,}5$, $2{,}25$). С ними нужно работать так же, как с обычными дробями: складывать, вычитать, умножать по правилам арифметики десятичных дробей. Полезно помнить перевод в обычные дроби: $0{,}5 = \frac{1}{2}$, $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$ — иногда с обычными дробями считать проще.

Другого теоретического багажа для этой подтемы не требуется: не нужны логарифмы, тригонометрия или сложные тождества — только степени и умение приводить к общему основанию.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на вычисление степенных выражений всегда одинаков и состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Найти общее основание. Посмотреть на все числа в выражении (основания степеней) и определить, можно ли представить их как степени одного и того же числа. Обычно самое маленькое из встречающихся чисел (2, 3, 5, 7...) и есть искомое общее основание.

Шаг 2. Переписать все степени через общее основание. Если число $b$ представлено как $b = a^k$, то $b^n = (a^k)^n = a^{kn}$ — показатели перемножаются.

Шаг 3. Применить свойства умножения/деления степеней. После того как все множители и делители выражения записаны как степени одного основания, само выражение превращается в произведение или частное степеней с одинаковым основанием: складываем или вычитаем показатели.

Шаг 4. Вычислить итоговый показатель и найти значение степени. Складываем или вычитаем десятичные дробки-показатели, получаем один итоговый показатель, а затем вычисляем степень числа — как правило, получается целое число.

Важно всегда выполнять действия строго по порядку: сначала возведение степени в степень (при перезаписи чисел через общее основание), а затем — умножение или деление степеней. Не путать эти две разные операции: перемножение показателей происходит только при возведении степени в степень, а сложение/вычитание показателей — только при умножении/делении степеней с одинаковым основанием.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$5^{0{,}36} \cdot 25^{0{,}32}.$$

Шаг 1. Ищем общее основание. В выражении присутствуют числа 5 и 25. Заметим, что $25 = 5^2$ — значит, общее основание равно 5.

Шаг 2. Переписываем 25 через основание 5. Подставляем это представление в исходное выражение: $$5^{0{,}36} \cdot 25^{0{,}32} = 5^{0{,}36} \cdot (5^2)^{0{,}32}.$$

Применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $$(5^2)^{0{,}32} = 5^{2 \cdot 0{,}32} = 5^{0{,}64}.$$

Шаг 3. Приводим к произведению степеней с одинаковым основанием. Теперь выражение имеет вид: $$5^{0{,}36} \cdot 5^{0{,}64}.$$

Применяем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$5^{0{,}36} \cdot 5^{0{,}64} = 5^{0{,}36 + 0{,}64} = 5^{1}.$$

Шаг 4. Вычисляем значение. $5^1 = 5$.

Ответ: 5.

Обратите внимание, что сумма показателей $0{,}36 + 0{,}64 = 1$ получилась целым числом не случайно — авторы заданий специально подбирают такие числа, чтобы итоговый показатель степени был целым или простой дробью. Это подсказка: если после приведения к общему основанию сумма или разность показателей не выглядит «красиво», стоит перепроверить вычисления.

Пример 2. Найдите значение выражения $$\frac{3^{6{,}5}}{9^{2{,}25}}.$$

Шаг 1. Ищем общее основание. В выражении встречаются числа 3 и 9. Заметим, что $9 = 3^2$ — общее основание равно 3.

Шаг 2. Переписываем 9 через основание 3. Знаменатель: $$9^{2{,}25} = (3^2)^{2{,}25}.$$

Применяем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $$(3^2)^{2{,}25} = 3^{2 \cdot 2{,}25} = 3^{4{,}5}.$$

Шаг 3. Приводим к частному степеней с одинаковым основанием. Исходное выражение принимает вид: $$\frac{3^{6{,}5}}{3^{4{,}5}}.$$

Применяем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{3^{6{,}5}}{3^{4{,}5}} = 3^{6{,}5 - 4{,}5} = 3^{2}.$$

Шаг 4. Вычисляем значение. $3^2 = 9$.

Ответ: 9.

Оба примера показывают одну и ту же логическую цепочку: находим общее основание → переносим показатель через возведение степени в степень → складываем или вычитаем показатели → вычисляем финальную степень. Тренируясь на подобных примерах, важно проговаривать каждый шаг вслух или письменно, чтобы не терять множители 2 (или другие) при переходе к общему основанию — это самая частая точка ошибки.

Типичные ошибки

Ошибка при умножении показателей на множитель основания. Когда число переписывается как степень (например, $25 = 5^2$), часто забывают домножить внешний показатель на 2. Правильно: $(5^2)^{0{,}32} = 5^{0{,}64}$, а не $5^{0{,}32}$.

Путаница между сложением и умножением показателей. Складывать показатели можно только при умножении степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а перемножать — только при возведении степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$). Смешение этих правил — самая частая причина неверного ответа.

Ошибки в арифметике десятичных дробей. При сложении или вычитании чисел вида $0{,}36 + 0{,}64$ или $6{,5} - 4{,}5$ легко ошибиться из-за невнимательности к разрядам. Полезно проверять результат: если итоговый показатель получился «некрасивым» (например, $1{,}17$ вместо ожидаемого целого числа), это сигнал пересчитать шаги заново.

Неправильный выбор общего основания. Иногда пытаются привести числа к основанию, которое не является общим для всех чисел в выражении (например, пытаются выразить и 5, и 9 через 3). Нужно сначала внимательно проверить, что все числа действительно являются степенями одного выбранного основания.

Забывание знака при вычитании показателей. В выражениях с делением степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ иногда путают порядок вычитания — вычитают показатель числителя из показателя знаменателя вместо обратного. Это меняет знак результата и приводит к неверному ответу (например, вместо $3^2$ получают $3^{-2} = \frac{1}{9}$).

Попытка вычислить степень «напрямую» без приведения к общему основанию. Некоторые пытаются сразу вычислить $5^{0{,}36}$ или $25^{0{,}32}$ как отдельные числа — это либо невозможно без калькулятора, либо приводит к громоздким иррациональным вычислениям. Правильный путь — всегда сначала свести всё к одному основанию, а затем работать только с показателями.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задания 7 на степенные выражения на экзамене важно действовать по чёткому алгоритму и не пытаться угадывать ответ. Сначала внимательно посмотрите на все числа-основания в выражении и определите, есть ли между ними связь через степень — это первый и решающий шаг, без него дальше двигаться не получится.

Выполняйте преобразования пошагово на бумаге, а не в уме: выпишите отдельно, чему равен каждый множитель или делитель после приведения к общему основанию. Это снижает риск арифметической ошибки при умножении и сложении показателей.

После получения финального показателя степени проверьте, выглядит ли он «разумно» — целым числом или простой дробью типа $\frac{1}{2}$ или $\frac{3}{2}$. Если получилось некрасивое число вроде $0{,}47$, скорее всего, где-то допущена ошибка — стоит перепроверить вычисления показателей.

Обращайте особое внимание на знаки при делении степеней: если выражение представляет собой дробь, показатель знаменателя вычитается из показателя числителя, а не наоборот. Ошибка в знаке приводит к обратному (дробному) значению вместо целого.

Наконец, не забывайте, что десятичные показатели можно (и часто удобно) переводить в обычные дроби — это помогает избежать ошибок при сложении и вычитании, особенно если дробные части не совпадают по разрядам. Финальный ответ в задании 7 почти всегда целое число или простая дробь, что позволяет быстро проверить себя простым устным подсчётом степени с целым показателем.