Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений степенных выражений

Упростим выражение пошагово, применяя свойства степеней.

Шаг 1: Преобразуем знаменатель

Корень 12-й степени из 2 — это $2^{\frac{1}{12}}$. Любой корень можно записать как степень с дробным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.

Шаг 2: Применяем свойство произведения степеней в числителе

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$$

Находим сумму дробей: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Числитель: $2^{\frac{7}{12}}$.

Шаг 3: Применяем свойство деления степеней

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{2^{\frac{7}{12}}}{2^{\frac{1}{12}}} = 2^{\frac{7}{12} - \frac{1}{12}} = 2^{\frac{6}{12}} = 2^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 4: Возводим в квадрат

Возводим результат в степень 2: $$\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^1 = 2$$

При возведении степени в степень показатели перемножаются.