ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений степенных выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений степенных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.1.7 Свойства степени с действительным показателем1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите значение выражения дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка , знаменатель: 10 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка конец дроби .

В подтеме 20 задач
Разбор
Главная идея: Раскрыть произведение в скобках по правилу степени произведения, вычислить показатели, затем разложить 10 в виде 2·5 и сократить одинаковые степени в числителе и знаменателе.

Преобразуем числитель, используя правило возведения произведения в степень: (a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n.

(23/5⋅52/3)15109=23/5⋅15⋅52/3⋅15109\frac{(2^{3/5} \cdot 5^{2/3})^{15}}{10^9} = \frac{2^{3/5 \cdot 15} \cdot 5^{2/3 \cdot 15}}{10^9}

Вычислим показатели степеней в числителе:

  • Для двойки: 35⋅15=3⋅155=455=9\frac{3}{5} \cdot 15 = \frac{3 \cdot 15}{5} = \frac{45}{5} = 9
  • Для пятёрки: 23⋅15=2⋅153=303=10\frac{2}{3} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{3} = \frac{30}{3} = 10

Получаем: 29⋅510109\frac{2^9 \cdot 5^{10}}{10^9}

Представим 10910^9 как произведение степеней основных множителей, так как 10=2⋅510 = 2 \cdot 5: 109=(2⋅5)9=29⋅5910^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9

Подставляем в дробь: 29⋅51029⋅59\frac{2^9 \cdot 5^{10}}{2^9 \cdot 5^9}

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}: 2929⋅51059=20⋅51=1⋅5=5\frac{2^9}{2^9} \cdot \frac{5^{10}}{5^9} = 2^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5

Типичные ошибки

  • Забыть раскрыть степень произведения и попытаться сразу возводить 10 в степень 15
  • Неправильно вычислить произведение дробей на целые числа: например, написать 3/5 · 15 = 45 вместо 9
  • Не заметить, что 10^9 = 2^9 · 5^9, и оставить выражение в виде 2^9 · 5^10 / 10^9 без упрощения
Непонятно?

Похожие задачи