Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений степенных выражений

Разберём числитель и знаменатель отдельно.

Шаг 1: Упростим числитель.

В числителе стоит произведение: $6^{\sqrt{3}} \cdot 7^{\sqrt{3}}$.

По свойству степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, мы можем вынести общий показатель: $$6^{\sqrt{3}} \cdot 7^{\sqrt{3}} = (6 \cdot 7)^{\sqrt{3}} = 42^{\sqrt{3}}$$

Шаг 2: Запишем дробь с упрощённым числителем.

Теперь наше выражение имеет вид: $$\frac{42^{\sqrt{3}}}{42^{\sqrt{3}-1}}$$

Шаг 3: Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием.

Когда делим степени с одним основанием, вычитаем показатели: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Получаем: $$42^{\sqrt{3} - (\sqrt{3}-1)} = 42^{\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1} = 42^1 = 42$$

Покажем вычисление показателя: $\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 0 + 1 = 1$.