ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений степенных выражений

Задача 510087. Вычисление значений степенных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.1.7 Свойства степени с действительным показателем1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите значение выражения дробь: числитель: корень 15 степени из 5 умножить на 5 умножить на корень 10 степени из 5 , знаменатель: корень 6 степени из 5 конец дроби .

В подтеме 20 задач
Разбор
Главная идея: Корни переводим в степени с дробными показателями, затем используем правила сложения и вычитания показателей при умножении и делении степеней с одинаковым основанием.

Запишем каждый корень через степень с дробным показателем:

  • 515=51/15\sqrt[15]{5} = 5^{1/15}
  • 5=515 = 5^1
  • 510=51/10\sqrt[10]{5} = 5^{1/10}
  • 56=51/6\sqrt[6]{5} = 5^{1/6}

Подставим в исходное выражение: 51/15⋅51⋅51/1051/6\frac{5^{1/15} \cdot 5^1 \cdot 5^{1/10}}{5^{1/6}}

В числителе применим правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 51/15+1+1/105^{1/15 + 1 + 1/10}

В знаменателе имеем 51/65^{1/6}. При делении степеней вычитаем показатели: 51/15+1+1/10−1/65^{1/15 + 1 + 1/10 - 1/6}

Приведём дроби к общему знаменателю 30:

  • 115=230\frac{1}{15} = \frac{2}{30}
  • 1=30301 = \frac{30}{30}
  • 110=330\frac{1}{10} = \frac{3}{30}
  • 16=530\frac{1}{6} = \frac{5}{30}

Сложим показатель: 2+30+3−530=3030=1\frac{2 + 30 + 3 - 5}{30} = \frac{30}{30} = 1

Получаем: 51=55^1 = 5

Типичные ошибки

  • Неправильное приведение дробей к общему знаменателю — ошибка в вычислении НОК(15, 10, 6) или самих дробей со знаменателем 30.
  • Забывают, что целое число 5 это 515^1, и не добавляют единицу в показатель при сложении.
  • Ошибка в знаке при вычитании показателя степени в знаменателе — вычитают вместо прибавления или наоборот.

Ещё задачи этой подтемы