Задача 26749. Вычисление значений степенных выражений

Переведём десятичную дробь в обыкновенную: $0,8 = \frac{4}{5}$.

Переписываем исходное выражение: $$\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 20^{\frac{6}{7}}$$

Представим каждый множитель с единым корнем 7-й степени, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: $$\sqrt[7]{\left(\frac{4}{5}\right)^1} \cdot \sqrt[7]{5^2} \cdot \sqrt[7]{20^6}$$

По свойству корней произведение корней одинаковой степени равно корню произведения: $$\sqrt[7]{\frac{4}{5} \cdot 25 \cdot 20^6}$$

Вычислим подкоренное выражение под корнем пошагово: $$\frac{4}{5} \cdot 25 = \frac{4 \cdot 25}{5} = \frac{100}{5} = 20$$

Тогда: $$\sqrt[7]{20 \cdot 20^6} = \sqrt[7]{20^{1+6}} = \sqrt[7]{20^7}$$

По определению корня: $$\sqrt[7]{20^7} = 20$$