ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений степенных выражений

Задача 26899. Вычисление значений степенных выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.1.7 Свойства степени с действительным показателем1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите значение выражения 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 10 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус 5 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка .

В подтеме 20 задач
Разбор
Главная идея: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются; иррациональные слагаемые в показателе взаимно сокращаются, оставляя целый показатель.

Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются. Применим это свойство:

35+10⋅3−5−5=3(5+10)+(−5−5)3^{\sqrt{5}+10} \cdot 3^{-5-\sqrt{5}} = 3^{(\sqrt{5}+10) + (-5-\sqrt{5})}

Сложим показатели степени. В числителе есть 5\sqrt{5} и −5-\sqrt{5} — они взаимно уничтожаются:

(5+10)+(−5−5)=5+10−5−5=5(\sqrt{5}+10) + (-5-\sqrt{5}) = \sqrt{5} + 10 - 5 - \sqrt{5} = 5

Получаем:

35=3⋅3⋅3⋅3⋅3=2433^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243

Проверка: 35=9⋅9⋅3=81⋅3=2433^5 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243.

Типичные ошибки

  • Забыли, что противоположные слагаемые (\sqrt{5} и -\sqrt{5}) сокращаются; попытались вычислить √5 приближённо вместо использования алгебраического упрощения.
  • Ошибка в применении свойства степеней: сложили основания вместо того, чтобы сложить показатели.
  • Неправильно раскрыли скобки при сложении показателей, потеряв знак минуса перед вторым выражением.

Ещё задачи этой подтемы