Задача 77407. Вычисление значений степенных выражений

Приведём выражение к одному основанию.

Шаг 1: Представим 8 как степень двойки

$8 = 2^3$, поэтому $8^{1 - \sqrt{7}} = (2^3)^{1 - \sqrt{7}}$

Шаг 2: Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$

$(2^3)^{1 - \sqrt{7}} = 2^{3(1 - \sqrt{7})} = 2^{3 - 3\sqrt{7}}$

Шаг 3: Перемножим степени с одинаковым основанием

$2^{3\sqrt{7} - 1} \cdot 2^{3 - 3\sqrt{7}}$

При умножении степеней с одним основанием показатели складываются:

$2^{(3\sqrt{7} - 1) + (3 - 3\sqrt{7})}$

Шаг 4: Упростим показатель

Вычисляем сумму в показателе: $(3\sqrt{7} - 1) + (3 - 3\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 1 + 3 = 2$

Члены $3\sqrt{7}$ и $-3\sqrt{7}$ взаимно уничтожаются, остаётся $-1 + 3 = 2$.

Шаг 5: Вычислим результат

$2^2 = 4$